Пример контрмодели для формулы (7)

I:

U = {Аристотель, Платон}

|Р|_I – быть учеником кого-либо

|a |_I - Аристотель

|b|_I - Платон

Имеем: |P (b, а)|_I= л (Платон не ученик Аристотеля), |P (a, b)|_I=и. Раз левая и правая части эквиваленции оценены по-разному, вся эквиваленция ложна (по определению этой связки), поэтому наша интерпретация I – контрмодель для формулы (7).

(9) $x (S(x) & (ØP(а,x) Ú ØP (b,x)))

Структура прочитывается: существует такой объект, который обладает свойством S и объект а не находится с ним в отношении Р или объект b.

При задании интерпретации (хоть модели, хоть контрмодели) некоторой формулы, необходимо установить значения всех нелогических констант, входящих в ее состав (и только их). В нашей формулы нелогические константы – это символы S¹ (из записи S(x) следует, что предикат S - одноместный), P², а, b.

Для того, чтобы построить модель для формулы вида $хА, надо на некотором множестве объектов найти такой, который превращает условие после квантора – А - в истинное. В нашем случае надо на некотором множестве U так проинтерпретировать символы S¹,P², а и b, чтобы в U нашелся объект х, для которого верно (S(x) & (ØP(а,x) Ú ØP (b,x)). Раз найдется, значит верно будет ввести квантор существования - $х. Рассмотрим, в каком случае для некоторого х верно условие в скобках

Поскольку формула утверждает, что существует объект, удовлетворяющий условию (S(x) & (ØP(а,x) Ú ØP (b,x)), то нужно найти интерпретацию I символов S¹,P², а, b и такую функцию оценки j (такое понимание) х, что |S(x) & (ØP(а,x) Ú ØP (b,x)|^j_I= и. В последней формуле главный знак – &. Конъюнктивная формула истинна, е.т.е. оба конъюнкта истинны, т.е. в искомой модели I |S(x)|^j_I =и, |ØP(а,x) Ú ØP (b,x)|^j_I = и. Формула ØP(а,x)ÚØP(b,x) – составная (содержит логические символы), для дизъюнктивной формулы имеем: она истинна, е.т.е. хотя бы один из дизъюнктов истинен: |ØP(а,x) Ú ØP (b,x)|^j_I = и, е.т.е. |ØP(а,x)|^j_I=и или |ØP(b,x)|^j_I = и. Отрицание формулы истинно, если сама формула (при заданных I и j) ложна, поэтому |ØP(а,x)|^j_I=и, е.т.е. |P(а,x)|^j_I = л, |ØP(b,x)|^j_I = и, е.т.е. |P(b,x)|^j_I = л.

Таким образом, надо найти такое множество U и такие значения значения S¹,P², а и b на нем, что хотя бы для одного объекта из U будет верно:

(1) |S(x)|^j_I = и и

(2) |P(а,x)|^j_I = л или |P(b,x)|^j_I = л

Примером интерпретации, для которой выполнены эти условия, будет, например, такая.