Пояснения и определения

Выше был построен ЯКЛП¹=. В этом языке очень много нелогических символов: индивидных констант, функциональных и предикатных, – бесконечно много, точнее – их столько же, сколько натуральных чисел. Но в любой содержательной теории, как правило, имеют дело с конечным набором объектов, функций, определенных на них, а также с конечным числом свойств объектов и отношений между ними, поэтому часто, прежде чем задавать какие-либо структуры в ЯКЛП¹=, фиксируют конечный список исходных нелогических символов, из которых будут строиться термы и формулы. Такой набор нелогических символов называется сигнатурой или словарем теории. Более строгое определение выглядит так.

Сигнатура – набор из трех множеств S=(Cnst, Fn, Pr), где

Cnst – (какое-то, возможно, пустое) множество индивидных констант,

Fn – (какое-то, возможно, пустое) множество функциональных констант,

Pr – (какое-то, возможно, пустое) множество предикатных констант.

При этом каждому функциональному и предикатному символу из Fn и Pr соответственно сопоставляется некоторое натуральное число – его местность (валентность, арность).

Примеры сигнатур

S₁=(a, f¹, P²)

S₂=(a)

S₃=(f²)

S₄=(P¹, Q², R²)

S₅=(c, h⁴, R¹, Q¹⁰)

S₆=(a, Q³)

S₇=(Q³)

Сигнатура языка формальной арифметики имеет вид S = (a, f¹, g², h²), или в обычных математических обозначениях S=(0,',+,·) (подразумеваемый смысл символа ' – взятие последующего элемента, или прибавление единицы: х'= x+1).