Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
14. Запишите какие-нибудь термы и формулы в указанных сигнатурах.
S1=(a, P1)
S2=(P2)
S3=(P4)
S4=(a, b, f1, R2)
Выше подробно рассматривалась задача определения структурной информации в ЯЛП. Рассмотрим теперь обратную задачу: как языковой структуре сопоставить конкретное выражение естественного языка (или языка какой-либо теории), т.е. как задать интерпретации термов и формул.
Некоторые простые формулы не укажут на некоторые необходимые условия задания интерпретации. Рассмотрим формулу Р(а,с). Формулам соответствуют предложения. Чтобы превратить эту структуру в предложение надо символу Р сопоставить какой-то двухместный предикат, а символам а и с – выражения, задающие конкретные объекты.
Приведем несколько вариантов «превращения» формулы в предложение.
Р – современник, а – М.И.Кутузов, с – Александр I (при такой интерпретации получим истинное предложение: М.И.Кутузов современник Александр I);
Р – современник, а – М.И.Кутузов, с – Александр Македонский (при такой интерпретации структура Р(а,с), естественно, ложна);
Р – современник, а – А.С.Пушкин, с – Александр I;
Р – родственник, а – М.И.Кутузов, с – Александр I;
Р – родственник, а – Николай I, с – Александр I;
Р – родственник, а – Александр I, с –Николай I;
Р – родиться раньше, а – Николай I, с – Александр I;
Р – родиться раньше, а – Александр I, с – Николай I;
Р – >, а – 5, с – 4;
Р – <, а – 5, с – 4;
Р – >, а – 5, с – 6;
Р – >, а – 5, с – 5[10].
Вы понимаете, что вариантов таких «превращений» бесконечно много. Рассмотрим немного более сложную формулу: Р(а,с) & Р(а,b). Для того, чтобы сопоставить этой структуре конкретное предложение и вычислить его значение («истина» или «ложь»), надо 1) придать значения нелогическим символам Р, а, b, с и 2) сказать, как понимаем логическую связку &. Что касается пропозициональных связок Ø, &, Ú, É, º, ⊥, Т то в классической логике предикатов они понимаются так же, как в классической логике высказываний. Скажем, структура А&В в КЛП будет определена как истинная в том и только в том случае, если оба конъюнкта оценены как истинные.
Рассмотрим три варианта приписывания значений нелогическим символам этой формулы и вычислим значение всей формулы при заданных условиях. Подчеркнем, что пока идут только предварительные пояснения процедуры интерпретации.
значения нелогических символов | предложение, соответствующее формуле Р(а,с)&Р(а,b) при данном понимании нелогических символов | значение формулы Р(а,с)&Р(а,b) |
Р – родиться раньше, а - Платон, b – Александр Македонский, с – Аристотель | Платон родился раньше Аристотеля и Александра Македонского. | истинно |
Р – родиться раньше, а - Александр Македонский, b – Платон, с – Аристотель | Александр Македонский родился раньше Аристотеля и Платона. | ложно |
Р - >, а - 5, b - 6, с -1 | 5 >1 и 5 >6 | ложно |
Пока никаких проблем с получением предложения по заданной структуре и с определением его истинностного значения не было.
Рассмотрим формулу "х$уР(х,у). Допустим, кто-то предложит Р понимать как отношение «<» и прочитает эту формулу так: Для каждого числа х существует число у такое, что х < у, т.е. для каждого числа найдется число, которое его (строго) больше. Спрашивается, это утверждение о числах истинно или ложно? Если вы скажете, что истинно, то поторопитесь. Так же, как если скажете, что ложно. Прежде, чем выяснять значение рассматриваемого предложения, нужно уточнить, к какому множеству чисел оно относится. В самом деле, если мы говорим (например) о натуральных числах, тогда это высказывание истинно: для любого натурального числа найдется (натуральное) число, которое его строго больше. Но если отнести это предложение к целым отрицательным числам, тогда оно будет ложным: для -1 среди рассматриваемых чисел не найдется большего. Ложным это предложение будет, если х и у брать из любого конечного множества действительных чисел, поскольку в конечном множестве действительных чисел, разумеется, существует наибольшее и для него-то мы не найдем число, которое его строго больше. Мораль такова: прежде чем интерпретировать языковую структуру, необходимо зафиксировать множество объектов, о которых мы рассуждаем, которые подразумеваются под х, у, z, а, b, с и т.д., между которыми задаем отношения, множество объектов, на котором определяем функции. Такое множество объектов называется носитель интерпретации, универсум (иногда говорят универс) или область рассуждения. Будем обозначать его U. В классической логике предикатов принимается следующее требование: носитель интерпретации должен быть непустым множеством: U¹Æ.
Если формула сигнатуры S не содержит переменных, тогда для превращения ее в предложение, надо зафиксировать некоторое множество объектов и относительно него проинтерпретировать все символы из S. Так выше мы «почти» поступили для формул Р(а,с) и Р(а,с)&Р(а,b), - там не было зафиксировано U (можно было в качестве U взять, скажем, множество всех людей, родившихся до 20 в., а в случае с числами – множество натуральных чисел). Для формул, содержащих переменные, этого недостаточно.
Рассмотрим, например, такую интерпретацию сигнатуры S=(P2): I = (U= Z, |P2|I= “>”). Спрашивается, будет ли на этом носителе при таком понимании символа Р истинна формула Р(х,у)? На этот вопрос имеющейся информации недостаточно. Вместо х и у имеем право подставить любое целое число. Одни подстановки дадут нам истинные предложения, другие ложные. Значит, в рамках фиксированной интерпретации нелогических констант можно по-разному понимать нелогические переменные (х, у, z, x1…). Каждое такое «понимание» назовем функцией оценки переменных или функцией интерпретации переменных. Каждая функция оценки сопоставляет каждой переменной какой-то объект из U.
Таким образом, объект, относительно которого определяем истинностное значение языковых структур (термов и формул) таков:
(1) некоторое множество,
(2) понимание нелогических символов,
(3) понимание переменных.
Интерпретацией (некоторой сигнатуры) или возможной реализацией назовем пару <(1), (2)>.
В ниже следующих упражнениях, определяя истинность или ложность конструкций с кванторами, полагаемся на языковую интуицию (когда истинно: для всех х верно А, для некоторых х верно А), для пропозициональных связок – вычисляем в соответствии с таблицами истинности.
15. Рассмотрим интерпретацию сигнатуры S=(P1,Q2,f1,h2,a,b,с).
I: U=N, N={0,1,2,…}
|P1|I= множество четных чисел (= свойство «быть четным числом»)
|Q2|I= множество таких пар чисел, первое из которых больше второго (>)
|f1|I= операция возведения в квадрат
|h2|I= операция сложения
|a|I1=0
|b|I1=2
|c|I1=3
Определите значения следующих термов и формул в интерпретации I:
а) h (a, b)
б) f (c)
в) f (f f((c)))
г) h (f(b), h(a,c))
д) P (h (a, b))
е) Q (f (b), h (a, a))
ж) P(c) Ú ØP(f(c))
з) $x (P(x) & Q(x,f(x)))
и) "x (P(f(x)) É P(x))
к) $x $y Q (c, h(x,y))
л) "x Q(h(x,a), a)
м) "x (P (x) É ØP (h (x, a)))
Терм | Значение в I |
Формула | Соответствующее предложение русского языка в интерпретации | Значение формулы в I (И или Л) |
16. Рассмотрим 3 интерпретации сигнатуры S=(P2)
I1: U=N, N={0,1,2,…} |P2|I1= ≥ | I2: U=N, N={0,1,2,…} |P2|I2= > | I3: U= люди |P2|I3= современник |
Определите значения следующих формул в каждой из этих интерпретаций, заполнив таблицу:
Формула | Интерпретация I1 | Интерпретация I2 | Интерпретация I3 | Интерпретация I3 | ||
Соответствующее предложение русского языка | Значение формулы (И или Л) | Соответствующее предложение русского языка | Значение формулы (И или Л) | Соответству ющее предложение русского языка | Значение формулы (И или Л) | |
∀xP(x,x) | ||||||
∃xP(х,х) | ||||||
∃x∃y(P(x,y)&P(y,x)) | ||||||
∃x∃y(P(x,y)&P(y,x)) | ||||||
∃x∃y(P(x,y)&P(y,x)) | ||||||
∃x∀y(x≠y⊃P(x,y)) | ||||||
∃x∀y(x≠y⊃P(y,x)) |
Тема 3: От языковых структур к выражениям естественного языка и/или нелогических теорий: модели и контрмодели для множеств формул (продолжение)
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 242 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!