Контрмодель

U = {0, 2, 4}

|Р|_I = делиться нацело на 2

|Q|_I = делиться нацело на 0

Какую бы оценку для у мы не взяли для формулы Р(у) º Q(у), в любом случае левая часть эквиваленции истинна, правая – ложна, т.е. не существует понимания у (функции оценки у), при котором наша формула в этой интерпретации истинна. Значит, построили контрмодель.

Пример 8 ∀у(Р(у) É (Q(у,а) Ú Q(у,b)))

Формула читается: Для любого объекта (из некоторой области) верно, что если он обладает свойством Р, тогда он находится в отношении Q с объектом а или b.

Модель

U= множество людей (когда-либо живших).

|а|_I = Аристотель

|b|_I = Аристофан

|Р|_I = классик русской литературы

|Q|_I = родиться раньше

(В данной интерпретации эта структура прочитывается: Для любого человека верно, что если он классик русской литературы, то родился раньше Аристотеля или Аристофана (или и того, и другого), или просто: Все русские классики родились раньше Аристотеля или Аристофана (или и того, и другого))

Контрмодель

U = множество людей (когда-либо живших).

|а|_I = Аристотель

|b|_I = Аристофан

|Р|_I = классик русской литературы

|Q|_I = родиться позже

Пример 9 ∀у∀x(х¹у É (Q(у,х) Ú Q(х,у)))

Формула читается: Для любых двух объектов х и у верно, что если они не совпадают, то у находится в отношении Q с х или х находится в отношении Q с у.

Модель

U = {Цезарь, Брут}.

|Q|_I = современник

Рассмотрим формулу х¹у É (Q(у,х) Ú Q(х,у)). При любом понимании х и у (а в этой интерпретации есть только два варианта: или Брут, или Цезарь), каждая из формул Q(у,х) и Q(х,у) истинна. Значит, при любой оценке х и у дизъюнкция истинна. В импликативной структуре А É В, если консеквент истинен, вся импликация истинна, независимо от значения антецедента. Значит формула х¹уÉ(Q(у,х)ÚQ(х,у)) истинна при любой подстановке вместо х и у. Значит, в этой интерпретации истинна формула

∀у∀x(х¹у É (Q(у,х) Ú Q(х,у))).