Жүйенің оптималдық сипаттамалары

Сурет 6.15 кескінделген автоматты жүйені қарастырамыз. Жүйенің өзгермейтін бөлігі кешеннің беру функциясын W_к (s) арқылы, ал W_б (s) арқылы басқарушы құрылғының беру функциясын белгілейміз. Жүйенің оптималды сипаттамасын анықтау есебі беру фукциясы W_б (s) немесе жиіліктік сипаттама W_б (jω) анықтауға әкеледі.

Сонымен жүйенің өзгермелі бөлігінің – басқарушы құрылғының сипаттамалары W_б (s) немесе W_б (jω) анықтау кезінде оптималдық көрсеткіші экстремумға жетеді.

Сурет 6.15

Оптималдық сапа көрсеткіштерін мына түрлерде таңдауға болады:

1. Интегралдық квадраттық ауытқу

;

2. Басқару энергиясы

,

мұнда

. (6.60)

Әртүрлі екі көрсеткіштер бойынша оптимумға бір уақытта жету күрделі болғандықтан, оптималдаудың үш есебін қоюға болады:

1) I_ε минимумға жетеді, I_u = A ₁ шарты орындалған кезде;

2) I_u минимумға жетеді, I_ε = A ₂ шарты орындалған кезде;

3) минимумға жетеді

,

мұндағы λ ² – функционал I_u «салмағын» сипаттайтын қандай да бір сан.

Жалпылау үшінші есепті қарастырамыз. Қатынас (6.52) негізінде аламыз

. (6.61)

Қарапайымдылық және көрнектілік үшін еріксіз қозғалыстың немесе қателіктің тұрақталған мәні және басқарушы әсердің тұрақталған мәні нольге тең деп ұйғарамыз, яғни .

Онда өрнектер (6.60) көрініп тұрғандай

және (6.61) орнына алатын боламыз

. (6.62)

Бірақ, жүйенің блок-сүлбесі (сурет 6.15) тікелей алынады,

және

.

Қателіктің спектральдық функциясы X (jω) және басқарудың спектральдық функциясы U (jω) мәнін (6.62) қою арқылы аламыз

. (6.63)

Берілген әсердің спектральдық энергиясы үшін

және басқарушы әсердің спектральдық энергиясы үшін

белгілеулерді енгіземіз.

Онда (6.63) мынадай тұлғада түпкілікті жазуға болады

. (6.64)

Егер (6.64) спектральдық энергияның мәнін және тұйықталған жүйенің жиіліктік сипаттамасын қоятын болсақ және оларға анықталмаған параметрлердің бір бөлігінің кіретінін ескерсек, онда біз жоғарыда қарастырылған оптималдық параметрлерді анықтау есебіне келеміз. Бұдан да кеңірек есепке келеміз, егер тұйықталған жүйенің функционалы І (6.64) өзінің минимумына жеткізетін оптималды жиіліктік сипаттамасын H _опт(jω) немесе беру функциясын H _опт(s) табу қажет болса. Бұл есепті шешу үшін І функционалын (6.64) ыңғайлы түрге келтіреміз. Ескереміз

және белгілейміз

. (6.65)

Өрнек (6.65) ескерсек, интеграл астындағы өрнек (6.64) жазуымызға болады

Жоғарыда келтірілген түрлендірулер сондай тәуелділікті алуға мүмкіндік береді, ізделінетін жиіліктік сипаттама H (jω) тек бір ғана қосылғыштың құрамына кіретін болады.

Енді экстремумы ізделінетін функционал келесі түрді қабылдайды

.

Интеграл астындағы қосылғыш өрнектер оң болғандықтан І минималдау қосылғышты минималдауға әкеледі

немесе бірдей

.

Айқын көрініп тұр, егер жүзеге асырылу талабы H (jω) қойылмаса, онда І минимумын Λ (ω) нольге айналған кезде жетеді

.

Осыдан

,

бірақ

.

Онда

,

.

Сонымен, жүзеге асырылмайтын жүйенің, көрсетілген мағынадағы, тұйықталған жүйенің жиіліктік сипаттамасы басқарылатын кешеннің жиіліктік сипаттамасымен және λ ² салмақтық көбейткішімен анықталады.

Бұл жағдайда тапқан кезде кері Лаплас түрлендіруі арқылы физикалық жүзеге асырылу шарты егер t < 0 орындалмайды.

Сондықтан, есептің шешімі физикалық жүзеге асырылу шарттарын қанағаттандыруы міндетті, сондай H _опт(jω) және H _опт(s) табу есептері өте маңызды болады.

Факторлау операциясын пайдаланамыз

.

Мұндағы Ψ (jω) - жоғарғы полюстері мен нольдері, ал Ψ (- jω) - төменгі нольдері мен полюстері болады.

Онда

. (6.66)

Соңғы теңдеуде екінші қосылғышты ыдырату операциясын пайдаланып, мынадай түрде көрсетеміз

, (6.67)

oлардың біреуінің, символ белгіленгенінің тек жоғарғы полюстері бар, ал келесісінің, символ белгіленгенінің тек төменгі полюстері бар. Қарапайым бөлшектерге жіктеумен және сәйкес қосылғыштарды топтаумен байланысты, бұл операция ыдырату деп аталады. Өрнек (6.67) өрнек (6.66) қою арқылы аламыз

.

Осыдан шығады

- оптимальды орнықты жиіліктік сипаттама.

Ескерсек

,

онда орнықты минималды-фазалық кешен және типтік берілген әсер үшін келесі қатынасты жазуға болады

Оптималды жүзеге асырылатын жиіліктік сипаттаманы анықтайтын тәуелділікті мына түрде жазуымызға болады

.

Тұйықталған жүйенің оптималды жүзеге асырылатын жиіліктік сипаттамасын анықтағаннан соң, басқарылатын кешеннің жиіліктік сипаттамасы W_k (jω) белгілі болғандықтан, басқарушы құрылғының жиіліктік сипаттамасын анықтау қиындық тудырмайды.