Автоматты басқару жүйесіндегі үрдістер

Үйреншікті автоматты басқару жүйелерінің теңдеуінің түрі мынадай

(6.9)

Бұл теңдеудегі кескіндеулерге және берілу функцияларына уақыттық функциялардың түпнұсқалары сәйкес келеді. Лаплас түрлендіруінің анықтамасы бойынша:

(6.10)

(6.11)

мұндағы

. (6.12)

Кескіндеу (6.9) түпнұсқаға өте отырып ұйыту теоремасының негізінде аламыз

(6.13)

немесе оған эквивалентті

(6.14)

Өрнек (6.13) және (6.14) сыртқы шама x (t) өзгеру үрдістерін сипаттайды, берілген g (t) және қоздырушы f (t) әсерлерінен туындаған. Бұл үрдістер уақыт функциялары h_g (t) және h_f (t) тәуелді болады. Ал, олар сәйкес берілу функциялары H (s) және H_f (s) түпнұсқалары болып табылады. Функциялар h_g (t) және h_f (t) автоматты басқару жүйесінің уақыттық сипаттамаларын анықтайды.

Теңдеулер (6.13) және (6.14) берілген g (t) және қоздырушы f (t) әсерлерінен туындаған автоматты басқару жүйелеріндегі үрдістерді анықтайды.

Жалпы жағдайда, бұл әсерлер t_g, t_f әртүрлі уақыт мезгілдерінде қойылуы мүмкін. Сондықтан, жалпы жағдайда, (6.14) теңдеуі мына өрнекпен алмастырылады

(6.15)

Үрдіс еріксіз деп атаймыз, егер сыртқы әсерлердің t_g, t_f басталу мезгілі мен байқау мезгілі арасындағы уақыт шексіздікке тең болса.

(6.15) өрнегінде t_g = t_f = ∞ деп ұйғара отырып, басқаша айтқанда, сыртқы әсер басталған мезгілден бастап шексіз үлкен уақыт аралығының өтуіне сәйкес келеді деп және қоздырылған үрдісті x^e (t) арқылы белгілей отырып аламыз

, (6.16)

немесе (t – τ) айнымалысын τ айнымалысына және – dτ шамасын dτ алмасты-рып, (6.16) өрнегін келесі түрге түрлендіреміз

. (6.17)

Осыдан көрініп тұрғандай еріксіз үрдіс теңдеу (6.13) жоғарғы шегі t шексіздікке ∞ алмастырған кезде алынады. Жалпы үрдіс x (t) мен еріксіз үрдіс x^e (t) (6.17) арасындағы айырым еркін үрдісті немесе меншікті үрдісті анықтайды және оны x^M (t) арқылы белгілейміз. Сонымен,

, (6.18)

немесе (6.13) және (6.17) өрнектерін (6.18) өрнегіне қойғаннан соң аламыз

. (6.19)

Автоматты басқару жүйелеріндегі x (t) жалпы немесе толық үрдіс (6.17) өрнегіндегі x^e (t) еріксіз және (6.19) өрнегіндегі x^M (t) меншікті (еркін) үрдістердің қосындысына тең болады.

Автоматты жүйенің орнықтылық фактісі ондағы еркін үрдістердің уақыт өткен сайын өшетіндігін және жүйеде еріксіз үрдіс орын алатынын куәландырады. Бұл жағдайда тұйықталған жүйенің уақыттық сипаттамасы уақыт өткен сайын нольге ұмтылады. Мұндай нольге ұмтылыс шапшаңырақ өткен сайын, жүйенің шапшаңдығы соғұрлым жоғары болады және сондай-ақ тұрақталған режим тезірек орын алады. Жүйе шапшаңдығын бәрінен де баяу өшетін уақыттық сипаттама гармоникасы компонентімен бағалауға болады.

Жалпы түрде стационарлық сызықтық автоматты басқару жүйелеріндегі еркін үрдістер тұйықталған жүйе теңдеуінің шешімімен анықталады

,

мұндағы G = A + BK – тұйықталған басқару жүйесінің матрицасы, x (t) – күй векторы.

Осы теңдеудің x (t) шешімінің өзгерісі G матрицасының μ меншікті мәндерімен (немесе сипаттамалық теңдеу түбірлерімен) анықталады.

Егер матрица G диогональдық түрге келтірілетін болса, онда дифференциалдық теңдеудің n таза экспоненциалдық шешімі бар болады және кез келген жеке шешімдері x (t) олардың әлдебір комбинациялары болады.

мұндағы C_i (i = 1, 2, …, n) – бос параметрлер және оларды орнымен таңдаған кезде, егер t = 0 болса, онда x = x ₀ болады, бастапқы шарты қанағаттандырады

.

Басқаша айтқанда, шешімнің уақытқа байланыстылығы экспоненциалды функциямен сипатталады (ескертейік, жалпы жағдайда μ шамасы комплексті мән қабылдайды μ = α ± jβ), сонымен қатар w_i (i = 1, 2, …, n) векторлары күй кеңістігінде x (t) векторлық сипаттамасын ескереді. Векторлар w_i (i = 1, 2, …, n) G матрицасының меншікті векторлары және олар уақытқа тәуелсіз. Осыдан туындайды, орнықты жүйенің шапшаңдығын G матрицасының меншікті мәнінің абсолюттік шамасы жағынан ең кіші нақты бөлігімен бағалауға болады, яғни μ ₀ = min |Re μ_i |, i = 1,…, n.

μ ₀ шамасы жүйенің орнықтылық дәрежесі деп аталады. Ол жүйенің шапшаңдық шегін сипаттайды және жүйенің шапшаңдық мөлшері деп те аталады.