Интегралдық квадраттық ауытқу

Автоматты басқару жүйелері орнықты болсын, себебі тек осы жағдайда ғана оптималдық көрсеткіштерінің мағыналары болады. Орнықты жүйелер үшін

сапа көрсеткіші бар және шектеулі болады.

Фурьенің кері түрлендіруіне сәйкес

(6.50)

Өрнек (6.50) екі бөлігін де ε (t) көбейтеміз және алынған теңдікті t бойынша нольден (0) шексіздікке (∞) дейін интегралдаймыз. Онда интегралдау ретін өзгерткеннен соң аламыз

. (6.51)

Ескере отырып

,

бұл өрнек E (jω) түйіндес спектрлік функция болатындығын, өрнек (6.51) аламыз.

. (6.52)

Өрнек (6.52) көпшілік жағдайларда Парсеваль формуласы деп атайды және ол сол ақиқатты растайды, тұрақталған мәннен қателіктің ауытқу энергиясы пропорционалды болады, бұл ауытқудың спектральды функциясының модулінің квадратынан алынған интегралға.

Спектральдық энергетикалық функцияны немесе энергияның спектральдық тығыздығын S_ε (ω) арқылы белгілейміз, яғни

.

Онда (6.52) табамыз

, (6.53)

яғни квадраттық интегралдық ауытқу тең болады, энергияның спектрлік тығыздығының ауданын 2 π бөлгенге.

Сонымен, егер S_ε (ω) графигі белгілі болса, онда І графикалық жолмен анықтауға болады (сурет 6.12).

Сурет 6.12

Интегралдық квадраттық ауытқу аналитикалық тұрғыда қателік энергиясының спектральдық тығыздығының коэффициенттері арқылы есептеледі. Ауытқу ε (t) бейнесі рационалды-бөлшек функция түрінде көрсетілетін болсын деп ұйғарайық

. (6.54)

Онда

және аламыз

.

Бұл интегралды комплексті айнымалылар функциясы теориясының кәдімгі тәсілдері көмегімен есептеуге болады және (6.54) өрнегіндегі бейне E (s) коэффициенттері арқылы өрнектеледі. Бірталай күрделі есептеулерді алып тастап, ең соңғы нәтижесін келтіреміз

, (6.55)

мұндағы

(6.56)

Гурвиц анықтауышының теңдеуі үшін аламыз , ал анықтауышы (6.56) соңғы жатық жолын төмендегі жатық жолдық элементтермен алмастыру арқылы алынатын анықтауыш

Жеке жағдайлары І өрнегінің (6.54) таблица 6.2 келтірілген

Таблица 6.2

l	I
l =1
l =2
l =3
l =4

Параметрлердің мәнін өрнек (6.55) қою арқылы І мәнін есептеуге болады және осылайша жүйенің сапасын сипаттай аламыз. Неғұрлым І кіші болса, соғұрлым жүйе сапалы болады.