Задания домашней контрольной работы по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

1 Решите задачи с помощью формул комбинаторики

1.1 На десяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Две из них вынимают наугад и укладывают в порядке появления, затем читают полученное число. Найти вероятность того, что:

а) число будет нечетным;

б) число будет кратным пяти;

в) число будет иметь цифру 3.

1.2 Четыре человека произвольно размещаются в 7 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они:

а) зайдут в один вагон;

б) зайдут в вагон № 1;

в) разместятся в разных вагонах?

1.3 10 книг на белорусском языке, 4 книги на французском языке и 5 книг на немецком языке размещают на одной полке. Найти вероятность того, что книги на одном языке будут стоять одна за другой.

1.4 В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что шесть из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся пять телевизоров. Какова вероятность того, что:

а) два из них нуждаются в общей регулировке;

б) ни один из них не нуждается в регулировке;

в) не менее трех нуждаются в общей регулировке?

1.5 В лотерее разыгрывается 90 билетов. Выигрыши выпали на 15 билетов. Некто приобрел 4 билета. Найти вероятности следующих событий:

а) выигрыш выпадет на все 4 билета;

б) выигрыш выпадет на 2 билета;

в) выигрыш выпадет хотя бы на один билет.

1.6 Из 13 учителей, в число которых входят 6 математиков и 4 физиков, требуется создать педагогический коллектив из 9 человек. Найти вероятность того, что в этот коллектив будут входить не менее четырех математиков и не более двух физиков.

1.7 Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, для проверки произвольно отбирают три приемника. Партия содержит пять неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут:

а) только исправные приемники;

б) один неисправный и два исправных приемника;

в) хотя бы один неисправный приемник?

1.8 Группа состоит из четырех мужчин и восьми женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке по три человека в каждой группе будет мужчина.

1.9 Из 10 спортсменов, из которых 2 гребца, 3 пловца, а остальные бегуны, нужно выделить команду из 6 человек для соревнований. Найти вероятность того, что в команду будут входить не менее одного спортсмена от каждого вида спорта.

1.10 Из 50 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 35. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент:

а) знает 2 вопроса;

б) не знает ни одного вопроса;

в) знает хотя бы один вопрос.

1.11 Из 15 рабочих, в число которых входят 5 плотников и 4 штукатура, требуется создать бригаду из 8 человек. Найти вероятность того, что в бригаду будут входить не менее трех плотников и не менее двух штукатуров.

1.12 В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:

а) нет бракованных;

б) нет годных;

в) хотя бы одна бракованная.

1.13 Тринадцать человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице, в которой есть два 4-местных, один 3-местный и один 2-местный номер. Какова вероятность события, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут:

а) в 2-местный номер;

б) в 3-местный номер?

1.14. На полку нужно поставить 10 разных книг, среди которых три книги по математике. Найти вероятность того, что книги по математике будут стоять рядом и занимать три первых или три последних места.

1.15 Наудачу выбирают 6 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 14 солдат. Какова вероятность того, что:

а) в группе будет 2 офицера и 4 солдата;

б) в группе будет не более двух офицеров;

в) в группе будет хотя бы один офицер?

2 Решите задачи на вычисление вероятностей событий

2.1 Три орудия ведут огонь по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле из первого орудия 0,5, из второго 0,6 и из третьего 0,7. Зная, что каждое орудие стреляет один раз, найти вероятность поражения цели, если для этого достаточно двух попаданий.

2.2 Перед посевом 80% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения растений, проросших из этих семян, вредителями равна 0,06, а растений, проросших из необработанных семян – 0,3. Какова вероятность того, что взятое наудачу растение окажется пораженным? Если оно пораженное, то какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?

2.3 На испытательный стенд поставлено 4 конденсатора. Вероятность пробоя конденсатора до истечения 1000 часов равна 0,01. Найдите вероятность того, что в течение испытания откажет хотя бы один конденсатор.

2.4 В одной коробке находится 4 красных, 5 зеленых и 3 черных карандаша, а в другой – 3 красных и 2 черных. Из первой коробки взяты три карандаша, а из второй – два. Какова вероятность того, что все вытащенные карандаши одного цвета?

2.5 В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки; хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки; слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашаются наугад три студента. Найти вероятность того, что они получат оценки: отлично, хорошо, удовлетворительно (в любом порядке).

2.6 Имеются две урны с шарами трех цветов. В первой находятся 4 голубых, 2 красных, 6 зеленых, а во второй – 2 голубых, 7 красных и 3 зеленых. Из каждой урны извлекают по одному шару и сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров одинаковы.

2.7 Что вероятнее выиграть у равносильного противника:

а) одну из двух партий или две из четырех;

б) не менее двух из трех партий или не менее четырех из восьми?

2.8 Из каждой партии промышленной продукции случайным образом выбирается 20 изделий. Партия принимается, если выборка содержит не более трех дефектных изделий. Какова вероятность принятия партии, если в процессе производства в среднем 10% изделий получаются дефектными?

2.9 Студент может добраться до института или автобусом, который ходит через каждые 20 минут, или троллейбусом, который ходит через каждые 10 минут. Найти вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших 5 минут.

2.10 В трех урнах находится по 100 шаров, причем в первой урне – 10 белых, во второй – 20 белых, в третьей – 30 белых шаров. Все шары ссыпаются в одну урну, и наудачу выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот шар был:

а) в третьей урне, при условии, что он оказался белым;

б) в первой урне, при условии, что он не оказался белым?

2.11 Три стрелка поочередно ведут стрельбу по одной и той же мишени. Каждый стрелок имеет два патрона. При первом же попадании стрельба прекращается. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, для второго – 0,3, для третьего – 0,4. Найти вероятность того, что все три стрелка израсходуют весь свой боезапас.

2.12 В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5: 2: 3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаев. Купленный наудачу телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор?

2.13 Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2: 1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

2.14 Для приема партии готовых изделий применяют выборочный контроль. Для этого берут наугад 3 изделия. Если среди них окажется:

а) хотя бы одно бракованное;

б) более одного бракованное, то бракуется вся партия.

Вычислить в обоих случаях вероятность того, что при таком способе контроля партия, состоящая из 46 стандартных изделий и 4 бракованных, будет принята.

2.15 Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,01, для второго – 0,02, для третьего – 0,03. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в два раза больше, чем второго, а третьего в три раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованной?

3 Решите задачи на вычисление числовых характеристик и нахождение законов распределения дискретных случайных величин

3.1 У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Составить закон распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется). Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график. Найти вероятность того, что число попыток больше двух.

3.2 В ящике находятся 15 деталей, из которых 9 стандартных. Наудачу отобраны четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики и функцию распределения этой случайной величины.

3.3 Охотник, имеющий 6 патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Построить закон распределения случайной величины Х – числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти числовые характеристики и функцию распределения этой случайной величины.

3.4 Контрольная работа состоит из 6 задач. Вероятность решить правильно каждую задачу для данного студента равна 0,7. Построить закон распределения и найти числовые характеристики случайной величины Х – числа правильно решенных задач. Построить ее функцию распределения.

3.5 В партии из 8 деталей имеется 5 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа стандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график. Найти числовые характеристики.

3.6 Студент знает 30 из 40 вопросов. Экзаменатор задает вопросы студенту до тех пор, пока обнаружит незнание вопроса. Составить закон распределения случайной величины Х – числа заданных вопросов. Найти числовые характеристики этой величины и вероятность того, что число заданных вопросов больше двух.

3.7 Независимо испытываются на надежность 3 прибора. Вероятности выхода из строя каждого прибора одинаковы и равны 0,6. Построить закон распределения и найти числовые характеристики случайной величины Х – числа вышедших из строя приборов. Построить ее функцию распределения.

3.8 Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Построить закон и функцию распределения случайной величины Х – общего числа попаданий. Найти ее числовые характеристики.

3.9 На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,5. Составить ряд распределения и построить функцию распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

3.10 Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7, для второго 0,75, для третьего 0,8, для четвертого 0,9. Построить закон и функцию распределения, а также найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

3.11 Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,4, вторым – 0,6. Начинает стрельбу первое орудие. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х - числа израсходованных снарядов вторым орудием, если имеется всего 6 снарядов. Найти числовые характеристики и функцию распределения этой случайной величины.

3.12 Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если ключ, не подошедший к замку, в последующих опробованиях не участвует. Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график. Найти числовые характеристики.

3.13 В партии из 12 деталей имеется 4 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа стандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график. Найти числовые характеристики.

3.14 Два стрелка поочередно стреляют по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,6. Вначале стреляет первый стрелок. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа произведенных выстрелов обоими стрелками, если имеется всего 5 патронов. Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график. Найти числовые характеристики.

3.15 Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения и найти функцию распределения дискретной случайной величины Х – числа оцененных на «отлично» работ среди извлеченных. Найти числовые характеристики этой случайной величины

4 Решите задачи на вычисление числовых характеристик и нахождение вероятностей попадания непрерывных случайных величин в заданный интервал

4.1 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (1; 5);

б) не меньшее (-1).

4.2 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (2; 5);

б) большее или равное шести.

4.3 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (-3; 1);

б) меньшее 1,5.

4.4 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (1; 2,5);

б) не меньшее двух.

4.5 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (0,5; 2);

б) меньшее нуля.

4.6 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (0; 2);

б) не меньшее 0,5.

4.7 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (1,5; 3);

б) не меньшее 2,5.

4.8 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (2,5; 8);

б) меньшее 1.

4.9 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (2,5; 4);

б) меньшее шести.

4.10 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (0; 2,5);

б) не меньшее двух.

4.11 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (1,5; 3,5);

б) меньшее 1,5.

4.12 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (1,5; 5);

б) не меньшее трех.

4.13 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (0; 2);

б) не меньшее 3.

4.14 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (1,5; 5);

б) не меньшее трех.

4.15 Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) заключенное в интервале (-1; 1);

б) не меньшее 1.

5 Решите задачи по математической статистике

Дана выборка, содержащая 50 числовых значений изучаемого признака. Требуется:

а) построить таблицу статистического распределения выборки;

б) построить гистограмму или полигон частот;

в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

Таблица 1 – Варианты домашней контрольной работы по дисциплине «Теория вероятностей и

математическая статистика»

Предпоследняя цифра шифра	Последняя цифра шифра
	1.1 2.1 3.1 4.1 5.1	1.2 2.2 3.2 4.2 5.2	1.3 2.3 3.3 4.3 5.3	1.4 2.4 3.4 4.4 5.4	1.5 2.5 3.5 4.5 5.5	1.6 2.6 3.6 4.6 5.6	1.7 2.7 3.7 4.7 5.7	1.8 2.8 3.8 4.8 5.8	1.9 2.9 3.9 4.9 5.9	1.10 2.10 3.10 4.10 5.10
	1.11 2.11 3.11 4.11 5.11	1.12 2.12 3.12 4.12 5.12	1.13 2.13 3.13 4.13 5.13	1.14 2.14 3.14 4.14 5.14	1.15 2.15 3.15 4.15 5.15	1.1 2.15 3.2 4.14 5.3	1.2 2.14 3.3 4.13 5.4	1.3 2.13 3.4 4.12 5.5	1.4 2.12 3.5 4.11 5.6	1.5 2.11 3.6 4.10 5.7
	1.6 2.10 3.7 4.9 5.8	1.7 2.9 3.8 4.8 5.9	1.8 2.8 3.9 4.7 5.10	1.9 2.7 3.10 4.6 5.11	1.10 2.6 3.11 4.5 5.12	1.11 2.5 3.12 4.4 5.13	1.12 2.4 3.13 4.3 5.14	1.13 2.3 3.14 4.2 5.15	1.14 2.2 3.15 4.1 5.1	1.15 2.1 3.1 4.15 5.2
	1.5 2.1 3.4 4.9 5.15	1.6 2.2 3.5 4.10 5.14	1.7 2.3 3.6 4.11 5.13	1.8 2.4 3.7 4.12 5.12	1.9 2.5 3.8 4.13 5.11	1.10 2.6 3.9 4.14 5.10	1.11 2.7 3.10 4.15 5.9	1.12 2.8 3.11 4.1 5.8	1.13 2.15 3.12 4.2 5.7	1.14 2.14 3.13 4.3 5.6

Продолжение таблицы 1

Предпоследняя цифра шифра	Последняя цифра шифра
	1.15 2.13 3.14 4.4 5.5	1.4 2.12 3.15 4.5 5.4	1.3 2.11 3.1 4.6 5.3	1.2 2.10 3.2 4.7 5.2	1.1 2. 9 3.3 4.8 5.1	1.15 2.1 3.15 4.1 5.15	1.14 2.2 3.14 5.14 4.2	1.13 2.3 3.13 4.3 5.13	1.12 2.4 3.12 4.4 5.12	1.11 2.5 3.11 4.5 5.11
	1.10 2.6 3.10 4.6 5.10	1.9 2.7 3.9 4.7 5.9	1.1 2.8 3.2 4.15 5.8	1.7 2.9 3.7 4.9 5.7	1.6 2.15 3.1 4.8 5. 1	1.5 2.13 3.2 4.10 5.2	1.4 2.14 3.3 4.11 5.3	1.3 2.11 3.4 4.12 5.4	1.2 2.12 3.5 4.13 5.5	1.1 2.10 3.8 4.14 5.6
	1.1 2.14 3.10 4.7 5.5	1.6 2.2 3.13 4.9 5.6	1.11 2.7 3.3 4.12 5.8	1.5 2.12 3.8 4.4 5.11	1.10 2.4 3.13 4.9 5.5	1.15 2.9 3.3 4.14 5.10	1.4 2.14 3.8 4.2 5.15	1.7 2.3 3.13 4.7 5.1	1.9 2.6 3.2 4.12 5.6	1.3 2.8 3.5 4.1 5.11
	1.15 2.2 3.13 4.3 5.12	1.14 2.3 3.12 4.4 5.11	1.13 2.4 3.11 4.5 5.10	1.12 2.5 3.10 4.6 5.9	1.11 2.6 3.9 4.7 5.8	1.10 2.7 3.8 4.8 5.7	1.9 2.8 3.7 4.9 5.6	1.8 2.9 3.6 4.10 5.5	1.7 2.10 3.5 4.11 5.4	1.6 2.11 3.4 4.12 5.3

Продолжение таблицы 1