Величин

Задача 3.1 Устройство состоит из трех независимо работающих

элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти функцию распределения и числовые характеристики этой случайной величины

Решение – Дискретная случайная величинаХ – число отказавших элементов в одном опыте имеет следующие возможные значения: (ни один элемент не отказал), (отказал один элемент), (отказали два элемента), (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказов равны, поэтому для вычисления вероятностей возможных значений данной случайной величины Х можно применить формулу Бернулли . В нашем случае n = 3, p = 0,1, q = 1 – p = 0,9.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение 0, равна:

;

;

;

.

Проверка: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1. Так как сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Х равна 1, то вычисления выполнены верно.

Закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте можно задать следующей таблицей:

Х
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

Указание: способ вычисления вероятностей зависит от условия задачи.

Найдем функцию распределения F(х) данной случайной величины, используя формулу:

При х ≤ 0 F(x) = 0;

при 0 < x ≤ 1 F(x) = 0,729;

при 1 < x ≤ 2 F(x) = 0,729 + 0,243 = 0,972;

при 2 < x ≤ 3 F(x) = 0,729 + 0,243 + 0,027 = 0,999;

при x > 3 F(x) = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

Таким образом, функция распределения F(х) имеет вид:

Найдем числовые характеристики данной случайной величины:

М(Х) = 0∙0,729 + 1∙0,243 + 2∙0,027 + 3∙0,001 = 0,3;

D(Х) = М(Х)² – (М(Х))² = 0∙0,729 + 1∙0,243 + 4∙0,027 + 9∙0,001 – 0,09 = 0,27;

Так как данная случайная величина имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики можно найти по формулам:

М(Х) = np = 3 ∙ 0,1 = 0,3;

D(X) = npq = 3 ∙ 0,1∙ 0,9 = 0,27;

Задача 3.2 Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа произведенных выстрелов, считая, что:

а) стрелять можно неограниченное число раз;

б) в наличии есть всего 5 патронов.

Решение – а) Случайная величина Х имеет геометрическое распределение, ее ряд распределения имеет вид

Х				…
Р	р	qp	q²p	…

Числовые характеристики этого распределения: , . Так как р = 0,2 и q = 0,8, то ; .

б) Ряд распределения случайной величины Х имеет вид

X
P	p	qp	q²p	q³p

Поэтому