Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Задача 2.1 В урне находятся 5 красных и 7 синих шаров. Найдите вероятность того, что два наугад вытянутых из урны шара окажутся:
а) красными;
б) разных цветов.
Решение – Пусть событие А состоит в том, что первый вытянутый из урны шар будет красным, а событие В состоит в том, что второй вытянутый из урны шар будет красным.
Так как в урне всего 12 шаров, в том числе 5 красных, то вероятность события А равна Р(А) = 5/12.
Теперь в урне осталось 11 шаров, в том числе 4 красных, тогда вероятность того, что и второй вытянутый шар будет красным равна Р(В) = 4/11.
Так как события А и В независимые, то искомая вероятность определится как Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 5/12 ∙ 4/11 = 5/33.
Найдем вероятность того, что первый вытянутый шар будет красным (событие А), а второй – синим (событие В):
Р(АВ) = 5/12 ∙ 7/11 = 35/132.
Теперь найдем вероятность того, что первый вытянутый шар будет синим (событие С), а второй – красным (событие Д):
Р(СД) = 7/12 ∙ 5/11 = 35/132.
Тогда искомая вероятность равна:
Р(АВ + СД) = Р(АВ) + Р(СД) = 35/132 + 35/132 = 35/66.
Задача 2.2 Стрелок при единичном выстреле поражает цель с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что, сделав три выстрела, стрелок:
а) не попадет в цель ни разу;
б) попадет в цель ровно один раз;
в) попадет в цель хотя бы один раз.
Решение –а) Вероятность непопадания в цель стрелком составляет 1 – 0,8 = 0,2. Событие, состоящее в том, что стрелок из трех выстрелов ни разу не попал в цель, можно рассматривать как произведение трех событий, которые заключаются в том, что стрелок не попал в цель при единичном выстреле. Тогда Р = 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008.
б) Найдем вероятность того, что стрелок первый раз попал в цель, а второй и третий – нет: Р(А) = 0,8∙0,2∙0,2 = 0,032.
Аналогично найдем вероятность попадания стрелком в цель только при втором выстреле (событие В) и только при третьем выстреле (событие С):
Р(В) = 0,2∙0,8∙0,2 = 0,032, Р(С) = 0,2∙0,2∙0,8 = 0,032.
Вероятность попадания стрелком в цель только один раз определится как сумма найденных вероятностей:
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,032 + 0,032 + 0,032 = 0,096.
в) Событие “попадет в цель хотя бы один раз” можно рассматривать как сумму событий “попадет в цель один раз” (событие А), “попадет в цель два раза” (событие В) и “попадет в цель три раза” (событие С). Вероятность первого из этих событий вычислена в пункте “б” и составляет Р(А) = 0,096. По аналогии найдем вероятности двух других событий:
Р(В) = 0,8∙0,2∙0,2 + 0,2∙0,8∙0,2 + 0,2∙0,2∙0,8 = 0,128 + 0,128 + 0,128 = 0,384;
Р(С) = 0,8∙0,8∙0,8 = 0,512.
Заметим, что данный результат можно было получить и другим способом. Для события “попадет в цель хотя бы один раз” противоположным является событие “не попадет в цель ни разу”, вероятность которого найдена в пункте “a”. Учитывая, что сумма вероятностей противоположных событий равна 1, имеем: P = 1- 0,008 = 0,992.
Задача 2.3 При сборке изделия на конвейере используются детали, изготавливаемые тремя поставщиками. Вероятность появления бракованной детали в партии, поступившей от первого поставщика, составляет 0,005, от второго поставщика – 0,008, от третьего поставщика – 0,003. От первого поставщика поступила партия в 5000 деталей, от второго – 4000, от третьего – 1000 деталей.
а) Найдите вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь окажется бракованной.
б) Найдите вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь изготовлена вторым поставщиком при условии, что она оказалась бракованной.
Решение – а) Введем следующие обозначения для рассматриваемых в задаче событий: событие A – наугад взятая деталь оказалась бракованной; событие H1 – наугад взятая деталь изготовлена первым поставщиком; событие H2 – наугад взятая деталь изготовлена вторым поставщиком; событие H3 – наугад взятая деталь изготовлена третьим поставщиком. Из условия задачи несложно найти вероятности событий H1, H2 и H3:
P(H1) = 5000/(5000 + 4000 +1000) = 0,5;
Р(Н2) = 4000/(5000 + 4000 +1000) = 0,4;
Р(Н3) = 1000/(5000 + 4000 + 1000) = 0,1.
Рассмотрим теперь событие А/Н, состоящее в том, что наугад взятая с конвейера деталь – бракованная, при условии, что данная деталь оказалась изготовленной первым поставщиком. Согласно условию задачи, вероятность этого события составляет 0,005, т.е. P(A/ H1) = 0,005. Аналогично P(A/H2) = 0,008, P(A/H3) = 0,003.
Для вычисления вероятности события A можно воспользоваться формулой полной вероятности:
P(A) = P(A/H1)P(H1)+P(A/H2)P(H2)+P(A/H3)P(H3) = 0,005∙0,5 + 0,008∙0,4 + 0,003∙0,1 = 0,006;
б) По условию задачи требуется найти вероятность p(H2/A). Воспользуемся для этого формулой Бейеса:
P(H2/A) = P(A/H2)P(H2) / Р(А) = 0,008∙0,4 / 0,006 = 0,0032/0,006 = 8/15.
Задача 2.4 Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
Решение –Искомые вероятности найдем с помощью формулы Бернулли
В первом случае n = 4, m = 3, p = 0,9, q = 1 – p = 0,1. Поэтому .
Во втором случае событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей имеем: . Поскольку , то
Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 595 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!