Задачи на вычисление числовых характеристик и нахождение вероятностей попадания непрерывных случайных величин в заданный интервал

Задача 4.1 Непрерывнаяслучайная величина Х задана функцией распределения

Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:

а) не меньшее 0,5;

б) заключенное в интервале (-0,5; 0,5).

Решение – Сначала найдем плотность вероятностей данной непрерывной случайной величины, используя формулу f(x) = F′(x). Получим:

Теперь вычислим математическое ожидание и дисперсию:

;

Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Р(а < X < b) = F(b) – F(a) и определением функции распределения случайной величины Х: F(x) = P(X<x). Получим:

а) Р(Х ≥ 0,5) = 1 – Р(Х < 0,5) = 1 – F(0,5) = 1 – 0,5³ = 1 – 0,125 = 0,875;

б) Р(-0,5 < X < 0,5) = F(0,5) – F(-0,5) = 0,5³ - 0 = 0,125.

Указание: если функция распределения и плотность вероятностей равны разным функциям на нескольких промежутках, то математическое ожидание и дисперсию следует вычислять как сумму соответствующих интегралов.