Комбинаторики

Задача 1.1 Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение – Число всех равновозможных случаев распределения 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.е. . Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно . Каждаятакая тройка может сочетаться с любой парой из 10 девушек, а число таких пар равно . Следовательно, число групп по 5 студентов, в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению . Это произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения пяти билетов среди студентов группы. В соответствии с формулой Р(А) = m/n, находим искомую вероятность:

Задача 1.2 В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут:

а) на одном и том же этаже;

б) на шестом этаже;

в) на разных этажах.

Решение –а) Пусть событие А заключается в том, что все пассажиры выйдут на одном и том же этаже. По определению вероятности Р(А) = m/n.

Число m всех благоприятствующих данному событию исходов равно 8, так как все пассажиры могут выйти на любом из этажей со второго по девятый. Поскольку каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей (этажи могут быть разными или одинаковыми), то число n всех равновозможных несовместных исходов равно .

Тогда .

б) Пусть событие В заключается в том, что все пассажиры выйдут на шестом этаже, тогда m = 1, а .

в) Пусть событие С заключается в том, что все пассажиры выйдут на разных этажах, тогда Следовательно,