Краткие теоретические сведения. Числовыми характеристиками выборки являются выборочная средняя и выборочная дисперсия

Числовыми характеристиками выборки являются выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Выборочной средней выборки объема n называется среднее арифметическое всех значений :

. (64)

Аналогичным образом для генеральной совокупности объема N определяется генеральная средняя:

. (65)

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

. (66)

Аналогично определяется генеральная дисперсия :

. (67)

Статистической оценкой Θ* неизвестного параметра Θ теоретического распределения называют функцию Θ* = от наблюдаемых случайных величин .

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Θ* = , где - результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. В противном случае оценка называется смещенной.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя .

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия . Эта оценка является смещенной, так как

. (68)

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

. (69)

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

, (70)

где - точность оценки;

n – объем выборки;

t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором

Ф(t) = γ/2; при неизвестном σ.

, (71)

где s – исправленное выборочное среднее квадратическое

отклонение;

находят по таблице по заданным n и γ.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака Х по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

s(1-q) < σ < s(1+q) при q < 1 (72)

0 < σ < s(1+q) при q > 1. (73)