Замечания. 1 страница

1. Функция, заданная в интервале [0; ], может быть разложена в зависимости от требований либо только в ряд косинусов, либо только в ряд синусов. Для этого она должна быть продолжена в интервале [- ; 0] либо как четная, либо как нечетная.

2. Если функция f(x) задана несколькими различными формулами на разных частях интервала , то при вычислении интегралов для коэффициентов ряда, следует разбить интервал интегрирования точками, в которых меняется аналитическое выражение функции, на части и затем вычислять указанные интегралы как сумму интегралов по составляющим частям.

Пример 12. Разложить в ряд Фурье данную функцию в интервале

а) f(x) = , 0< x <4, T=4.

Поскольку интервал (0,4) не симметричен относительно нуля и имеет длину, равную 4, то формулы для коэффициентов Фурье принимают вид:

= = cos dx,

= sin dx.

Вычислим интегралы

= = =2

= dx = x = u, du = dx, dv = cos dx, V = sin =

= = = 0

= sin dx = x = u, du = dx, dv = sin dx, V = cos =

= = =

следовательно,

= 1 + =

Это разложение справедливо, т.е. полученный ряд сходится к данной функции во всех точках ее области определения 0<x<4. В граничных точках x=0 и x=4 сумма ряда равна 1, в этих точках все члены ряда, кроме первого, обращаются в 0. График суммы ряда изображен на рисунке.

Рисунок. График суммы ряда

б) f(x)=xsin(x), 0<x<p в ряд по косинусам.

Функция, разлагаемая в ряд по косинусам, должна быть четная. Следовательно, нужно построить ее четное продолжение в интервале
(-p,0). Тогда b_n = 0.

= sin x dx = , du = dx, sin xdx = dV, V = =

= + = = 2

= =

=

= =

=

= = =

= = = ,

При n=1

= = =

= = .

Следовательно, = . Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции справедливо при любом значении x, т.е. полученный ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси.

Варианты индивидуальных заданий

1. Найти и члены ряда

1.1.	3+	1.16.	+…
1.2.		1.17.
1.3.		1.18.
1.4.	+…	1.19.
1.5.		1.20.
1.6.	+…	1.21.
1.7.		1.22.
1.8.		1.23.
1.9.		1.24.
1.10.		1.25.
1.11.		1.26.
1.12.	+…	1.27.
1.13.		1.28.
1.14.		1.29.
1.15.		1.30.	+…

2. Найти сумму ряда

2.1.		2.10.
2.2.		2.11.
2.3.		2.12.
2.4.		2.13.
2.5.		2.14.
2.6.		2.15.
2.7.		2.16.
2.8.		2.17.
2.9.		2.18.
2.19.		2.25.
2.20.		2.26.
2.21.		2.27.
2.22.		2.28.
2.23.		2.29.
2.24.		2.30.

3. Можно ли решить вопрос о сходимости ряда с помощью необходимого признака?

3.1.	a)		b)
3.2.	a)		b)
3.3.	a)		b)
3.4.	a)		b)
3.5.	a)		b)
3.6.	a)		b)
3.7.	a)		b)
3.8.	a)		b)
3.9	a)		b)
3.10.	a)		b)
3.11.	a)		b)
3.12.	a)		b)
3.13.	a)		b)
3.14.	a)		b)
3.15.	a)		b)
3.16.	a)		b)
3.17.	a)		b)
3.18.	a)		b)
3.19.	a)		b)
3.20.	a)		b)
3.21.	a)		b)
3.22.	a)		b)
3.23.	a)		b)
3.24.	a)		b)
3.25.	a)		b)
3.26.	a)		b)
3.27.	a)		b)
3.28.	a)		b)
3.29.	a)		b)
3.30.	a)		b)

4. Исследовать ряды на сходимость