Первый признак сравнения

Пусть даны ряды и с положительными членами, причем, начиная с некоторого номера n . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда ; из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Сравнение исследуемых рядов производится обычно с некоторыми стандартными рядами:

а) , (геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при ).

б) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при ).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Сравнивая общий член данного ряда с общим членом расходящегося гармонического ряда , убеждаемся что при всех n. Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Второй признак сравнения. Если сходимость ряда известна и существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же =0, то из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд . Сравним данный ряд со сходящимся рядом :

: = = ,

т.е. ряд тоже сходится.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при < 1 ряд сходится, а при > 1 – расходится. При = 1 ряд может сходиться или расходиться.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.

а)

; следовательно, ряд сходится.

б)

= = 3>1; значит ряд расходится.

Признак Коши (радикальный).

Если существует предел = , то при < 1 ряд сходится, а при > 1 – расходится. При =1 ряд может сходиться или расходиться.

Замечание. Если применение одного из признаков (Даламбера или Коши) не дает ответа о сходимости ряда, то применение другого признака тоже бесполезно.

Пример 5. Исследовать на сходимость с помощью признака Коши

а)

= = = 4>1, ряд расходится;

б)

= = = <1.

Значит ряд сходится.