Так как

,

то =

=

Пятый член этого знакочередующегося ряда меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения достаточно взять сумму первых четырех первых членов ряда, т.е.

6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ дифференциальных уравнений

С ПОМОЩЬЮ рядов

Пусть требуется найти решение уравнения

y' = f(x, y), (1)

удовлетворяющее начальному условию y(x ₀)=y₀. Будем искать решение уравнения в виде:

y= y(x₀)+ (2)

Свободный член y(x₀) этого разложения известен: он равен y₀. Подставив в (1) значение x=x₀, найдем и y'(x₀)= f(x₀, y₀).

Далее, дифференцируя (1), получаем

y''=f_x^'(x, y)+f_y^'(x, y)y^', (3)

откуда находим y''(x₀).

Аналогично этому, дифференцируя (3), найдем y'''(x₀) и т.д.

Пример 11. Представить решение уравнения в виде первых шести членов ряда

y'=x-y², (4)

удовлетворяющее начальному условию y(1)=1.

Последовательно дифференцируя равенство (4), находим

y''=1- y^' 2y,

y'''=-2(y')²-2yy'',

y⁽⁴⁾=-6y'y''-2yy'',

y⁽⁵⁾=-6(y'')²-8y'y'''-2yy⁽⁴⁾,

y⁽⁶⁾= -20y''y'''-10y'y⁽⁴⁾-2yy⁽⁵⁾,

Отсюда из (4) получаем

y'(1)=0, y''(1)=1, y'''(1)=-2, y⁽⁴⁾=4, y⁽⁵⁾=-14, y⁽⁶⁾=68.

Значит,

y=1+