Приложения степенных рядов

Рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена (x- ) вида

При =0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно переменной х:

который называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать для любой функции f(x), которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд представляет данную функцию f(x) только тогда, когда остаточный член ряда будет стремиться к нулю.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

Пример 9. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложения элементарных функций.

а)

Ряд сходится к данной функции при всех значениях х.

б) sin² x

sin² x =

Ряд сходится при всех значениях х.

в) ln(3+ x)

Преобразуем аргумент функции.

ln(3+ x)= .

Воспользуемся разложением функции ln(1+t), полагая t=x/3

ln(3+ x)=ln3 +

Так как разложение ln(1+t) имеет место при |t|<1, то данное разложение будет иметь место при |x/3|<1, то есть |x|<3

Пример 10. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точностью до 0,0001.

а)

=

Применим биномиальный ряд, полагая х =1/16, m=1/4:

Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычислим

=1;

Ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше 0,0001.Значит

» 2(1+0,01562-0,00037) 2,0305.

б) .