Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд вида:

a₁ - a₂ + a₃ - a₄ +... + a_n (-1)ⁿ +... (2)

где a₁, a₂... – положительные числа.

Теорема Лейбница. Если модуль n-го члена знакочередующегося ряда с возрастанием n монотонно убывает и стремится к нулю, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Ряд (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда.

Ряд (2) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей расходится. Исследование сходимости знакочередующихся рядов удобно начинать с исследований абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит к цели, чем применение признака Лейбница с последующим исследованием абсолютной сходимости ряда.

Пример 7. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды

а) .

Составим ряд из модулей членов данного ряда . Он сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем = 2 > 1. Следовательно, сходится и данный ряд, причем абсолютно.

б) .

Ряд составленный из модулей членов данного ряда расходится по признаку Даламбера, т.к.: = 5.

Условия теоремы Лейбница для данного знакочередующегося ряда не выполняются, т.е. с возрастанием n модуль n-го члена ряда не стремится к нулю ( = ). Отсюда следует, что данный знакочередующийся ряд расходящийся.