Ряды Фурье. Рядом Фурье для функции f(x) в интервале называется тригонометрический ряд вида:

Рядом Фурье для функции f(x) в интервале называется тригонометрический ряд вида:

+ ,

если его коэффициенты a_n и b_n вычисляются по формулам Фурье:

a_n = dx, n = 0,1,2,...

b_n = dx, n = 1,2,...

Если в интервале функция f(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т.е. имеет сумму S(x) во всех точках этого интервала.

При этом:

а) в точках непрерывности функции f(x) он сходится к самой функции, S(x)=f(x);

б) в каждой точке разрыва функции – к полусумме односторонних пределов функции слева и справа.

Если функция четная, т.е. f(x)=f(-x), все коэффициенты b_n = 0 и ряд имеет вид:

f(x)= + ,

= cos dx, n=0,1,2,...

Если функция нечетная, т.е. f(x)=-f(-x), все коэффициенты = 0, и ряд имеет вид:

f(x) = , = dx, n=1,2,3,...