Асимптоты функции

Асимптотой графика функции у =f(х) называется прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат

Теорема 1. Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции слева или справа равен бесконечности. Тогда прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x).

Теорема 2. Пусть функция у=f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = f(x).

Теорема 3. Пусть функция у = f(x) определена при достаточно больших х, и существуют ее конечные пределы , . Тогда прямая у = kx +b является наклонной асимптотой графика функции у = f(x).

Общий план исследования функций

Исследование функций состоит в нахождении:

1) области определения функции;

2) четности(нечетности) функции;

3) точек разрыва функции, вертикальных асимптот;

4) горизонтальных и наклонных асимптот;

5) интервалов монотонности функции, точек максимума и минимума;

6) интервалов выпуклости функции, точек перегиба;

7) точек пересечения с осями, дополнительных точек.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Придерживаясь приведенного ранее плана, будем исследовать функцию.

1. Найдем область определения функции. , так как .

2. , следовательно функция нечетная, а значит ее график симметричен относительно начала координат.

3. являются точками разрыва функции. Найдем пределы функции в этих точках.

, , , . Значит прямые являются вертикальными асимптотами функции.

4. Найдем горизонтальные асимптоты. Для этого найдем предел функции в бесконечности. , следовательно, горизонтальных асимптот не существует.

Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы , . Таким образом, – наклонная асимптота.

5. Найдем интервалы монотонности и точки максимума и минимума. Для этого:

1°. Находим производную у' = f'(x).

2°. Находим критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная равна нулю при .

3°. Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и делаем вывод о наличии экстремумов функции.

При значения производной положительны, а значит на этом множестве функция возрастает, при - отрицательны, таким образом, на этом множестве функция убывает.

Так как при переходе через x =-3 производная меняет знак с плюса на минус, то y (-3)=-9/2 - максимум функции.

Так как при переходе через x =3 производная меняет знак с минуса на плюс, то y (3) = 9/2 - минимум функции.

Так как при переходе через x =0 производная не меняет знака, то y (0)=0 не является экстремумом функции.

Таким образом, P ₁(-3; -9/2) - точка максимума, а P ₂(3; 9/2) - точка минимума графика функции.

6. Найдем интервалы выпуклости функции, точки перегиба;

1. Находим вторую производную функции f"(x).

2. Находим точки, в которых вторая производная f"(х)=0 или не существует.

y''= 0 при x = 0, y'' не существует при .

3. Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

При значения второй производной отрицательны, при - положительны, таким образом, на множестве график функции выпуклый, а на множестве - вогнутый, P ₃(0; 0) - точка перегиба.

На основании проведенного исследования функции строим ее график (рис.).

Рис. График функции

Практические и семинарские занятия – 14 часов.