Выпуклость функции. Точки перегиба

Опр. 1. Функция у = f(x) называется выпуклой вниз на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство:

Опр. 2. Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Опр. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Точки перегиба — это точки экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, т.е. f"(x)= 0.