Частные производные функции двух переменных

Пусть определена на области D. Будем считать аргумент y постоянным и рассмотрим получающуюся при этом функцию одной переменной x. Придадим переменной x приращение . Приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует), отношения приращения функции к приращению аргумента , при , называется частной производной по x и обозначается или т. е.

.

Если считать аргумент х постоянным и рассматривать функцию z = f(x, y) как функцию одной переменной у, то приращение вызовет приращение функции . Конечный предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при называется частной производной по y и обозначается , т. е.

.

Для обозначения частных производных также используют символы:

.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

;

;

;

.

Причем , если производные непрерывны. Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.