Система с неограниченной длиной очереди

Системы массового обслуживания с неограниченной длиной очере­ди предполагают ограниченное число каналов обслуживания в системе в неограни­ченную возможность для образования очереди требований, поступающих на обслуживание. Каждый канал может выполнять только одну работу. Если в момент поступления очередного требования все каналы заняты, то оно становится в очередь и ожидает начала обслуживания.

В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требо­ваний с параметром l. Время обслуживания каждого требования является случай­ной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром m.

Состояние такой системы описывается системой дифференциальных уравнений:

где n – число каналов обслуживания в системе; P_k (t) – вероятность того, что в системе в момент времени t занято k каналов обслуживания.

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число не превосходит числа обслуживающих аппаратов

при 1£ k £ n.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов

при k ³ n.

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты

a/ n < 1.

5. Среднее число требований в системе

6. Среднее время пребывания в системе

.

7. Средняя длина очереди

.

8. Среднее время пребывания в очереди

.

9. Среднее число свободных от обслуживания каналов

Для данного класса систем массового обслуживания решаются за­дачи выбора оптимального числа аппаратов, определения размеров оче­реди и соответствующих складских площадей, расчета пропускной спо­собности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:

J = а ^. c ₁ ^. n + c ₂ ^. N ₀ + c ₃ ^. (n – L) + c ₄ ^. T

где а – норма амортизации; c ₁ – цена канала обслуживания; c ₂ и c ₃ – текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего канала; c ₄ – затраты на содержание ожидающих требований в единицу времени; Т – го­довой фонд рабочего времени системы.

Пример 10.2.

Пусть фирма по ремонту аппаратуры имеет n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт l = 10 аппаратов. Общее число аппаратов, находящихся в эк­сплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все осно­вания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждый аппарат в за­висимости от характера неисправности также требует случайного времени на ремонт. Время на проведение ремонта за­висит во многом от серьезности полученного повреждения, квали­фикации мастера и множества других причин. Статистика показала, что в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать m = 2,5 аппарата.

Требуется оце­нить характеристики работы фирмы по ремонту аппаратуры.

Решение.

Определим параметр системы , т.к. 4<5, то очередь не может расти безгранично, следовательно, фирма справляется с входящим потоком требований на ремонт аппарату­ры.

1. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта:

.

3. Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом:

,

то есть 55,4% времени мастера полностью загружены работой.

4. Среднее время обслуживания каждым мастером одного аппа­рата при восьмичасовом рабочем дне:

ч.

5. Среднее время ожидания каждым неисправным аппаратом начала ремонта:

ч.

6. Средняя длина оче­реди:

аппарата.

7. Среднее число мастеров, свободных от работы:

.

Пример 10.3.

Механик из мастерской может обслужить 3 автомобиля в час. Клиенты появляются по 2 человека в час. Требуется оценить параметры одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием и неограниченной длиной очереди.

Как изменятся параметры системы, если в мастерской будет два механика, зарплата каждого из них 7 руб./час, а затраты клиента 10 руб./час?

Решение.

Определим параметр системы , то есть механик занят 67% времени.

1. Вероятность отсутствия требований в системе

.

2. Вероятность того, что в системе находится более k = 3 требований

.

то есть в 13,2% случаев в мастерской более трех автомобилей.

3. Среднее число требований в системе

автомобиля.

7. Среднее время пребывания в системе

час.

8. Средняя длина очереди

автомобиля.

9. Среднее время пребывания в очереди

часа или 40 мин.

Результаты расчетов приведены в табл. 1.1.

Таблица 10.1

Параметры	Одноканальная	Многоканальная
Р0	0,33	0,5
Ls	2 автомобиля	0,75 автомобиля
W s	60 мин.	22,5 мин.
Lq	1,33 автомобиля	0,083 автомобиля
W q	40 мин.	2,5 мин.
Затраты клиента	10 руб./час * 0,67 час. * 8 час/день * 2 авто/час = 107 руб./день.	10 * 0,0415 * 8 * 2 = 7
Затраты мастерской	8 час/день * 7 руб./час = 56 руб./день.	8 * 7 * 2 = 112
Суммарные затраты	107 + 56 = 163 руб.	112 + 7 = 119

При наличии двух мастеров время пребывания в очереди существенно сокращается и суммарные затраты меньше. Отсюда, целесообразнее иметь двухканальную систему, чем одноканальную.

Пример 10.4

Определить оптимальное число причалов промыш­ленного речного порта, принимающего сыпучие материалы. По­ток поступления барж простейший с параметром 0,5 шт./сутки. Время разгрузки одной баржи подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром 0,5 шт./сутки. Цена оборудования одного причала 100000 руб., текущие затраты на содержание работающего причала 400 руб./сутки, а простаивающего – 200 руб./сутки, приведенные затраты на содержание груже­ной баржи 1000 руб./сутки. Если груз с момента прибытия ожидает более двух суток, то условия его разгрузки усложняются и связаны с допол­нительными затратами в 600 руб.

Пример 10.5

Определить оптимальное число станков в мастерской, если цена одного станка 20000 руб., среднее время обработки одного комплекта деталей 4 ч, текущие затраты на об­служивание работающего станка 5, а неработающего – 3 руб./ч, содер­жание запаса деталей 0,2 руб./ч на один комплект, среднее число деталей, поступающих в обработку 2 комплекта/ч.

Статистический анализ показал, что поток комплектов деталей яв­ляется простейшим, а время обработки распределено по экспоненциальному закону.

Пример 10.6

На заводе имеется 5 испытательных стендов го­товых изделий. Статистическим обследованием установлено, что поток готовых изделий – пуассоновский с параметром 5 шт./ч., а время испы­тания – случайное и распределено по показательному закону с парамет­ром 4 шт./ч. Если все стенды заняты, то изделия ожидают испытаний в порядке очереди. Ограничений на длину очереди нет.

Требуется оценить работу системы, если цена одного стенда 2000 руб., текущие расхода на обслуживание работающего стенда 30, а стоящего 20 руб./сутки, приведенные затраты на содержание ожидающих изделий 10 руб./сутки.

Рассмотреть целесообразность сокращения числа стендов.