Система с отказами

Система массового обслуживания с отказами не допускает образования очереди поступающих работ. Если в момент поступления очередного требования в системе все каналы заняты, то требование покидает систему. Если имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый из n каналов может одновременно обслуживать только одно требование и все каналы функционируют независимо.

В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требо­ваний с параметром l. Время обслуживания каждого требования является случай­ной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром m.

Состояние такой системы описывается системой дифференциальных уравнений:

где P_k (t) – вероятность того, что в системе в момент времени t занято k каналов обслуживания.

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что в системе находится k требований

.

3. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты

.

4. Среднее число свободных от обслуживания каналов

5. Коэффициент простоя каналов

К_пр = N ₀/ n

6. Среднее число занятых обслуживанием каналов

N _з = n – N ₀ = a(1– P_n)

7. Коэффициент загрузки каналов

K _з = N _з/ n

Для данного класса систем массового обслуживания решаются за­дачи выбора оптимального количества аппаратов, подбора параметров обслуживающего комплекса, расчета пропускной способности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:

J = а ^. c ₁ ^. n + c ₂ ^. N _з + c ₃ ^. (n – N _з) + c ₄ ^. T ^. P_n ^. l

где а – норма амортизации; c ₁ – цена канала обслуживания; c ₂ и c ₃ – текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего канала; c ₄ – потери производ­ства от невыполнения одной работы /потери одного отказа/, Т – го­довой фонд рабочего времени системы.

Пример 10.1

Фирма имеет n = 4 телефонных диспетчеров. Среднее число вызовов в течение часа составляет l = 96. Среднее время телефонного разговора Т_обс = 2 минуты. Определить степень загрузки диспетчеров и вероятность отказа в обслуживании.

Решение.

Определим параметр системы .

1. Вероятность того, что все диспетчеры свободны

.

2. Вероятность того, что все диспетчеры заняты (вероятность отказа)

,

то есть клиент не сможет дозвониться с первого раза в 30 случаях из ста.

3. Среднее число занятых диспетчеров

N _з = 3,2 ^. (1– 0,3) = 2,24.

4. Коэффициент загрузки каналов

K _з = 2,24/4 = 0,56.

Следовательно, каждый диспетчер будет занят в среднем 0,62 рабочего дня.

Пример 10.1

Определить оптимальное число аппаратов автома­тического контроля качества деталей. Если очередная деталь, двигающаяся по конвейеру, застает все контролирующие аппараты занятыми, то она проходит на отгрузку без контроля. Цена аппарата 10000 руб., эксплуатационные расходы на содержание работающего аппарата 200, а простаивающего – 100 руб/сутки. Потери у потребителя от возможного получения бракованной детали 20 руб. Время контроля одной штуки проката распределено по экспоненциальному закону с параметром m = 0,2 ¹/_мин. Поток деталей является простейшим с параметром l = 0,8 ¹/_мин.

Пример 10.2

Для повышения качества проката после стана ус­тановлены две машины зачистки поверхности металла. Если очередная штука проката застает зачистные машины занятыми, то она проходит на отгрузку без зачистки. Это позволяет не останавливать предшествую­щий технологический поток и давать максимальное количество проката. Однако зачистка поверхности дает возможность повысить цену на 5 руб./шт.

Требуется оценить работу системы, если цена зачистной машины 10000 руб., затраты на зачистку 0,5 руб/ч, затраты на один час простоя машины 0,2 руб., годовой фонд работы машины 6000 ч., время зачистки одной штуки проката распределено по экспоненциальному закону с пара­метром 0,1 ¹/_ч, поток проката простейший с параметром 0,05 ¹/_ч.

Рассмотреть возможность установки третьей зачистной машины.

Пример 10.3

Определить оптимальное число ячеек в нагрева­тельном отделении обжимного цеха. Будем считать, что слитки посту­пают по одному и емкость ячейки один слиток. Если очередной слиток застает все ячейки занятыми, то он отправляется на склад холодных слитков. В последующем нагрев этого слитка потребует дополнительных затрат 40 руб. Цена одной ячейки 100 руб., затраты на обслуживание ячейки при работе 2 руб./ч и при простое – 1 руб./ч, годовой фонд ра­боты ячейки 6000 ч.

Сделать анализ влияния числа ячеек на экономическую оценку рабо­ты нагревательного отделения, если поток слитков является простейшим с параметром 30 шт./ч, а время нахождения слитка в ячейке распределено по экспоненциальному закону, с параметром 1 шт./ч.