Геометрическая интерпретация игровых задач

Пример 9.4

Решить игру, заданную матрицей

Решение.

На плоскости U OZ вводится система координат OZ и O U. На оси O U Откладывается отрезок единичной длины А₁А₂, каждой точке которого ставится в соответствие некоторая смешанная стратегия

U = (u ₁, u ₂) = (u ₁,1– u ₁) (рис. 10.1). Например, точке А₁(0; 1) соответствует стратегия А₁, точке А₂(1; 0) – стратегия А₂ и т.д.

В точках А₁, А₂ восстанавливаются перпендикуляры, на которых откладываются выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OZ) откладывается выигрыш игрока А при стратегии А₁, на втором – при стратегии – А₂.

Рис. 9.1

Если игрок А применяет стратегию А₁, то его выигрыш при стратегии В₁ игрока В равен 2, а при стратегии В₂ он равен 5 (точки В₁ и В₂ на оси OZ).

Если игрок А применяет стратегию А₂, то его выигрыш при стратегии В₁ игрока В равен 6, а при стратегии В₂ он равен 4 (точки В₁^’ и В₂^’ на перпендикуляре из точки А₂).

Соединяя между собой точки В₁ и В₁^’, В₂ и В₂^’, получим две прямые, расстояние до которых от оси O U определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В₁В₁^’ до оси O U определяет средний выигрыш v ₁ при любом сочетании стратегий А₁ и А₂ (с частотами u ₁ и u ₂) и стратегии В₁ игрока В. Это расстояние равно 2 u ₁ + 6 u ₂ = v ₁. Аналогично, средний выигрыш при стратегии В₂ определяется ординатами точек отрезка В₂В₂^’.

Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломаной В₁МВ₂^’ определяют минимальный выигрыш игрока А при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина () является максимальной в точке М (). Следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия , а ее ордината равна цене игры u. Координаты точки М находятся как координаты точки пересечения прямых В₁В₁^’ и В₂В₂^’:

Решение этих уравнений:

Аналогично определяется оптимальная стратегия для игрока В из решения системы уравнений:

Решение игры – смешанные стратегии u ⁰ = (²/₅; ³/₅), z ⁰ = (¹/₅; ⁴/₅), u = ²²/₅.

Обобщая решение игровых задач размерностью 2х n и n х2, можно выделить этапы:

строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока;

определяют нижнюю границу (верхнюю) выигрыша;

находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с минимальной (максимальной) ординатой.

определяют цену игры и оптимальные стратегии.

Пример 9.5

Решить игру, заданную матрицей

Решение.

Строим прямые – стратегии второго игрока В₁В₁^’, В₂В₂^’, В₃В₃^’ (рис. 10.2).

Рис. 9.2

Ломаная В₁МВ₂^’ соответствует нижней границе выигрыша игрока В, то есть В точке М с минимальной ординатой пересекаются прямые В₁В₁^’, В₂В₂^’, которым соответствуют стратегии игрока А:

Следовательно, решение игры:

u ⁰ = (¹/₂; ¹/₂; 0), z ⁰ = (¹/₃; ²/₃), цена игры u = 8.

Пример 9.6

Решить игру, заданную матрицей

Решение.

Строим прямые – стратегии первого игрока (рис. 10.3).

Рис. 9.3

Ломаная А₁МА₄^’ соответствует верхней границе выигрыша игрока А, а ордината точки М – цене игры. Стратегии А₁ и А₄^’ первого игрока соответствуют прямые А₁А₁^’ и А₄А₄^’, пересекающиеся в точке М с максимальной ординатой, то есть

или

Следовательно, решение игры:

u ⁰ = (⁷/₈; 0; 0; ¹/₈), z ⁰ = (³/₈; ⁵/₈), u = ⁴³/₈.

Пример 9.7

Пусть предприятие планирует на массовый рынок производство нового изделия. Спрос на это изделие не может быть точно определен. Однако можно предположить, что его величина будет характеризоваться тремя возможными состояниями (I, II, III). С учетом этих состояний анализируются три возможных варианта (модификации) конструкции изделия (А, Б, В), каждый из которых требует своих затрат и обеспечивает различный эффект (цену, прибыль).

Прибыль, которую получит предприятие при данном объеме производства и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей:

.

Требуется выбрать такой вариант изделия, величина предложения которого обеспечит среднюю прибыль при любом уровне спроса.

Решение.

Прежде всего, проверяется имеет ли исходная платежная матрица седловую точку.

= max (22, 21, 20) = 22 – нижняя цена.

= min (22, 23, 24) = 22 – верхняя ценаигры, то естьa = b = 22 – цена игры (седловая точка).

Таким образом, оптимальная политика предприятия на рынке – производство первой модификации изделия в объеме, обеспечивающем среднюю прибыль 22 д.е. при любом состоянии спроса.

Пример 9.8

Предприятие планирует производство двух изделий А, Б с неопределенным спросом, предполагаемый уровень которого характеризуется двумя состояниями I, II. В зависимости от этих состояний прибыль предприятия различна и определяется платежной матрицей

Определить объемы производства каждого изделия, при котором предприятию гарантируется средняя величина при любом состоянии спроса.

Решение.

Проверка платежной матрицы на наличие седловой точки:

= max (22, 22) = 22 – нижняя цена.

= min (52, 49) = 49 – верхняя цена.

Следовательно, чистых стратегий продаж у предприятия нет, и для игры без седловой точки (a<b) используют смешанные стратегии:

Следовательно, в общем объеме предложения предприятия 53% должны составлять изделия Б, 47% – изделия А. Такая стратегия продаж обеспечит среднюю прибыль 36,1 д.е. при любом состоянии спроса.