Система с ограниченным потоком требований

Система состоит из n обслуживающих каналов. Каждый из них может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требо­ваний с параметром l. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (все каналы заняты), то это требование ставится на очередь и ждет начала обслуживания. Требования на обслуживание поступают от m обслуживаемых объектов, то есть поток поступающих требований ограничен. Время обслуживания каждого требования является случай­ной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром m.

Состояние такой системы описывается системой дифференциальных уравнений:

где n – число каналов обслуживания в системе; P_k (t) – вероятность того, что в системе в момент времени t находится k требований.

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число не превосходит числа обслуживающих аппаратов

при 1£ k £ n.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов

при n £ k £ m.

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты

при 1£ k £ n.

5. Средняя длина очереди

.

6. Среднее число требований, находящихся в системе

.

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:

J = а ^. c ₁ ^. n + c ₂ ^. (n – N ₀) + c ₃ ^. N ₀ + c ₄ ^. L ₁ ^. T

где а – норма амортизации; c ₁ – цена канала обслуживания; c ₂ и c ₃ – текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего канала; c ₄ – затраты на содержание требований, находящихся в системе, в единицу времени; Т – го­довой фонд рабочего времени системы.

Пример 10.6.

Бригада ремонтников из n = 3 человек обслуживает m = 20 установок в цехе. Каждый ремонтник может одновременно выполнить только одно требование на ремонт (l = 1). Если в момент поступления очередного требования на ремонт имеются свободные ремонтники, то один из них приступает к ремонту, если занята вся бригада, то заявка на ремонт ставится в очередь. Количество оборудования, вышедшее из строя в течение какого-либо периода времени подчиняется закону Пуассона. В среднем на ремонт одного станка требуется Т_обс = 30 минут.

Требуется определить среднее количество оборудования, простаивающего в ожидании ремонта, степень занятости ремонтников и время простоя оборудования.

Решение.

Определим параметр системы .

1. Вероятность того, что неисправны один, два или три станка (когда их число не превосходит числа ремонтников)

.

2. Вероятность того, что неисправны четыре или пять станков (когда их число больше числа ремонтников)

.

3. Вероятность того, что все станки исправны, а ремонтники свободны от ремонта

Отсюда P ₀ = 0,13;

P ₁ = P ₂ = 2,5^. 0,13 = 0,33;

P ₃ = 1,25^. 0,13 = 0,16;

P ₄ = 0,42^. 0,13 = 0,05;

P ₅ = 0,07^. 0,13 = 0,01.

5. Средняя длина очереди

,

то есть из пяти станков в среднем 0,07 станка будет простаивать в очереди.

6. Среднее число станков, простаивающих в очереди и в ремонте

станка.

7. Коэффициент простоя станка 1,72/5 = 0,34, то есть 34% рабочего времени каждый станок проводит в ожидании ремонта или в ремонте.

8. Среднее число свободных ремонтников

9. Среднее число занятых ремонтников

N _з = 3 – 1,38 = 1,62 чел.

10. Степень загрузки ремонтников

К_з = 1,62/3 = 0,54.

Результаты решения задачи сведены в табл. 1.

Таблица 10.2