Двухфазная система

Двухфазная система массового обслуживания с неограниченным потоком требований состоит из двух ааппаратов разной производительности. В этой системе возможно образование очереди требований перед первой и второй фазами. Поступившее в систему требование сначала обслуживается на первом аппарате. Если он занят, то требование ставится в очередь. После первого аппарата требование переходит на второй аппарат, перед которым также может образовываться очередь.

Простейшие системы данного класса имеют показательный закон распределения времени обслуживания на аппаратах с параметрами m₁ и m₂ и пуассоновский поток поступающих требований с параметром l.

Вероятностные оценки состояния системы следующие.

1. Вероятность того, что оба канала обслуживания свободны

P ₀ = (1–a₁)(1–a₂); a₁ = l/m₁; a₂ = l/m₂.

2. Вероятность того, что на первой фазе системы находится n требований, а вторая фаза свободна

P_{n ,0} = a₁ ⁿ (1–a₁)(1–a₂).

3. Вероятность того, что на второй фазе системы находится n требований, а первая фаза свободна

P _{0, n} = a₂ ⁿ (1–a₁)(1–a₂).

4. Вероятность того, что на первой фазе системы находится n требований, а на второй – m требований

P_{n , m} = a₁ ⁿ a₂ ^m (1–a₁)(1–a₂).

4. Среднее число требований, находящихся в системе

L ₁ = a₁ ⁿ /(1–a₁) + a₂ ^m /(1–a₂) = L ₁^{(1) +} L ₁⁽²⁾.

Для данного класса систем массового обслуживания решаются задачи выбора оптимального числа аппаратов в фазах, определения размеров очередей и соответствующих размеров складов, расчета пропускной способности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:

J = а ^. (c ₁⁽¹⁾ + с₁⁽²⁾) + (c ₂^{(1) .} Т + c ₂^{(2) .} Т) ^. Р₀ + (c ₃⁽¹⁾ + c ₃⁽²⁾) ^. Т ^. Р₀ +

+ (c ₄^{(1) .} L ₁^{(1) +} c ₄^{(2) .} L ₁⁽²⁾) ^. T

где а – норма амортизации; c ₁^{( i )} – цена i -го канала обслуживания; c ₂^{( i )} и c ₃^{( i )} – текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего i -го канала; c ₄^{( i )} – затраты на содержание ожидающих требований перед i -м каналом в единицу времени; Т – го­довой фонд рабочего времени системы.

Пример 10.7.

Участок технологического процесса включает прокатный стан и агрегат резки. На стан поступает поток заготовок, который можно считать пуассоновским с параметром 60 шт./ч. перед станом и перед агрегатом резки допускается образование очереди заготовок, ожидающих обработки. Длина штук заготовок меняется, что приводит к изменению времени их обработки на агрегатах. Статистический анализ показал, что время занятости стана и агрегата резки характеризуется экспоненциальным законом распределения с параметрами 120 и 75 шт./ч, соответственно.

Требуется оценить работу участка, если цена стана 1 млн. руб., агрегата резки – 200000 руб., текущие затраты на обслуживание работающего и стоящего агрегата на стане 200 и 120, а на агрегате резки – 25 и 5 руб./ч, соответственно. Затраты на содержание запаса металла 0,5 руб./шт.ч.

Рассмотреть влияние производительности агрегата резки на экономическую оценку работы участка.