Система с ограниченной длиной очереди

Система состоит из n обслуживающих каналов. Каждый из них может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требо­ваний с параметром l. Если в момент поступления очередного требования все n каналов заняты, то это требование ставится на очередь, при условии, что в ней стоит меньше m требований, иначе – покидает систему. Другими словами, требование получает отказ, если в системе находится s = n + m требований. Время обслуживания каждого требования является случай­ной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром m.

Состояние такой системы описывается системой дифференциальных уравнений:

где n – число каналов обслуживания в системе; P_k (t) – вероятность того, что в системе в момент времени t находится k требований.

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число не превосходит числа обслуживающих аппаратов

при 1£ k £ n.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов

при n £ k £ s.

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты

.

5. Вероятность отказа

6. Средняя длина очереди

.

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:

J = а ^. c ₁ ^. n + c ₂ ^. (n – N ₀) + c ₃ ^. N ₀ + c ₄ ^. T ^. l ^. P_s + c ₅ ^. L ^. T

где а – норма амортизации; c ₁ – цена канала обслуживания; c ₂ и c ₃ – текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего канала; c ₄ – потери производства от невыполнения одной работы (потери одного заказа); c ₄ – затраты на содержание ожидающих требований в единицу времени; Т – го­довой фонд рабочего времени системы.

Пример 10.5.

Фирма занимается срочной доставкой грузов и имеет n = 5 машин, работающих круглосуточно. В среднем в час поступает l = 1 заявка. Среднее время перевозки грузов Т_обс = 1 час. Если количество заказов, ожидающих обслуживания, становится равным m = 10, то фирма прекращает прием заявок до тех пор, пока очередь не уменьшится.

Требуется оце­нить характеристики работы фирмы.

Решение.

Определим параметр системы .

1. Вероятность того, что все машины свободны от перевозки грузов:

.

2. Вероятность того, что все машины заняты:

,

то есть вероятность полной загрузки очень мала.

3. Вероятность отказа в обслуживании

4. Средняя длина оче­реди:

.

Заказчик практически никогда не получит отказа в обслуживании, но и загрузка машин будет очень мала.

Пример 10.7

В отделении нагрева металла в цехе крупной ковки часть нагревательных печей работают в режиме копильников. Если очередной поступивший слиток застает занятыми все нагревательные печи, то он помещается в копильники, где обеспечивается поддержание температуры металла. Если занятыми окажутся и копильники, то слиток отправляется на склад. В последующем его нагрев потребует дополнительных затрат в размере 100 руб. Поступающий поток слитков – пуассоновский с параметром 10 шт./сутки. Время нагрева слитка перед ковкой и распределено по показательному закону с парамет­ром 1 шт./сутки. В цехе имеется 10 нагревательных печей.

Требуется определить оптимальное число копильников, если цена нагревательной печи 100000 руб., текущие затраты на обслуживание работающей печи 50, а стоящей – 30 руб./сутки, приведенные затраты на содержание слитков в копильниках – 60 руб./сутки, годовой фонд времени работы отделения нагрева 6000 ч.