Случайная величина и закон ее распределения

Случайной величиной называется величина, которая в каждом испытании принимает то или иное возможное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Мы будем обозначать случайные величины большими греческими буквами (часто встречаются обозначения ), а их возможные значения – строчными латинскими буквами (x, y, z, …).

В теории вероятностей рассматриваются дискретные и непрерывные случайные величины. Возможные значения дискретной случайной величины образуют некоторую (конечную или бесконечную) последовательность чисел с известными, как правило, вероятностями. Точное определение непрерывной случайной величины будет дано ниже, сейчас же отметим, что возможные ее значения сплошь заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Законом распределения (или просто распределением) случайной величины называется правило, которое устанавливает соответствие между ее возможными значениями и соответствующими вероятностями.

Первичной формой задания закона распределения дискретной случайной величины является так называемая таблица распределения, в первой строке которой указываются возможные значения величины, а во второй – вероятности этих значений. Так, для конечнозначной (а именно значной) дискретной случайной величины таблица распределения имеет вид

… …

причем сумма вероятностей всех возможных значений равна 1,

.

Таблица распределения дискретной случайной величины может быть геометрически изображена многоугольником распределения – ломаной линией, последовательно соединяющей точки

(рис. 1)

Пример 1. Урна содержит 6 белых и 4 черных шара. Наудачу берут 4 шара. Пусть - случайная ве-личина, означающая количество извлеченных белых шаров. Составить закон ее распределения.
Рис. 1 Возможные значения случайной величины – 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений

находятся с помощью классического определения вероятности.

Элементарными событиями (шансами) являются здесь сочетания из 10 элементов по 4, а поэтому общее их количество равно

Количества благоприятствующих шансов представлены в таблице

Событие	Количество благопроятствующих шансов	Пояснение
		4 черных шара (и ни одного белого) можно взять единственным способом
		Один белый шар можно взять 6 способами, а 3 черных - способами
		2 белых шара можно взять и 2 черных - способами
		3 белых шара можно взять и 1 черных - 4 способами
		4 белых шара (и ни одного черного) можно взять способами

Числа найдены с помощью основного принципа комбинаторики.

Таким образом,

,

и таблица распределения случайной величины суть

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины

,

а сумма приближенных значений этих вероятностей, здесь равная (с точностью до 0.01)

0.015 + 0.114 + 0.429 + 0.381 + 0.071» 1.010,

на практике может оказаться немного меньшей или большей 1.

Многоугольником распределения является здесь ломаная, последовательно соединяющая точки

.

Постройте его самостоятельно.

Пример 2 (испытания до первого успеха при ограниченном количестве испытаний и постоянной вероятности успеха). Из той же урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, последовательно извлекают по одному шару до первого появления белого шара. Найти закон распределения случайной величины - количества излеченных шаров.

Возможные значения случайной величины – 1, 2, 3, 4, 5. Для нахождения соответствующих вероятностей введем следующие вспомогательные события: - появление белого (соответственно черного) шара при извлечении го по счету шара. Тогда

,

и на основании классического определения вероятности

и аналогично

причем сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1,

.

Таблица распределения случайной величины

Постройте самостоятельно многоугольник распределения случайной величины.