Вероятность суммы и произведения событий. Суммой событий а и в называется событие, состоящее в том, что произойдет по крайней мере одно из них (или только а

Суммой событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдет по крайней мере одно из них (или только А, или только В, или оба вместе).

Произведением событий А, В называется событие, состоящее в том, что оба события происходят вместе (и А, и В).

Оба определения легко переносятся на случай любого количества со­бытий.

Часто оказывается удобным представлять некоторое событие в виде суммы произведений более простых событий. Например, сумму двух событий можно представить следующим образом:

, (5)

причем события попарно несовместны. Первое из них означает, что происходит событие А, а событие В не происходит, второе – что происходит событие В, но не происходит А, третье – что оба события происходят вместе.

Замечание. Операции сложения и умножения для некоторых событий обладают несколькими специфическими свойствами, вытекающими из определений сложения и умножения событий:

, , , , , .

Для всех остальных событий операции сложения и умножения событий обладают теми же свойствами, что и алгебраические сложение и умножение:

1) коммутативности

;

2) ассоциативности

;

3) дистрибутивностива

.

Очевидн, если события образуют полную группу событий, то сумма этих событий является достоверным событием , а если события и – несовместные события, то произведение этих событий является невозможным событием .

Поэтому для противоположных событий, образующих полную группу событий выполняются следующие соотношения

, .

Вероятность суммы двух несовместных или нескольких попарно несов­местных событий разна сумме вероятностей этих событий: если А и В – несов-местны, то

; (6)

если события А, В,…, С попарно несовместны, то

. (7)

Легко показать, что сумма вероятностей попарно несовместных собы­тий, образующих полную группу, равна 1 (так как сумма таких событий - досто­верное событие, вероятность которого равна 1). В частности, сумма вероятностей противоположных событий равна 1,

. (8) Последний факт часто используется в теории вероятностей, когда вместо вероятности одного события удобнее найти вероятность противоположного события и вычесть последнюю из единицы,

. (9)

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятно-сти одного события на условную вероятность другого:

. (10)

Здесь - условная вероятность события В, то есть вероятность В при условии, что произошло событие А. Соответственно, - условная вероятность события А (при условии, что произошло событие В).

Вероятность произведения трех и большего количества событий определяется аналогично. Например,

, . (11)

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления (или ненаступления) другого. Несколь­ко событий называются независимыми (точнее - независимыми в совокуп­ности), если вероятность одного из них не зависит от наступления (или ненаступления) любого из остальных и произведения любого количества остальных событий.

Вероятность произведения нескольких независимых событий равна про­изведению их вероятностей. Так, если события А, В или А, В, С независимы, то

, . (12)

Пример 1. В ящике имеется 10 стандартных и 8 бракованных деталей. По-очередно берут наудачу 3 детали (без возвращения деталей обратно). Найти вероятность того, что все извлеченные детали стандартны.

Решение. Пусть - событие, состоящее в том, что все три извлеченные детали стандартны, - событие, состоящее в том, что стандартна первая деталь, - стандартна вторая деталь, - стандартна третья. События - зависимые. Вероятность первогоравна , вероятность события при условии, что произошло событие , равна , вероятность события при условии, что произошли события равна . Т.к. событие , то

.

Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна , во вторую - . Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. Пусть - событие, состоящее в том, что стрелок попадет в первую или вторую область, событие – что он попадет в первую область, - во вторую. Тогда , причем события и несовместные, и их вероятности известны: , . Следовательно,

..

Пример 3. В цехе работает независимо друг от друга три станка. Beроятность отказа первого станка равна 0.02, второго – 0.07, третьего – 0.05. Найти вероятности того, что: 1) все три станка работают; 2) все три станка отказали; 3) работает только два станка; 4) работает только один станок; 5) работает хотя бы один станок; 6) хотя бы один станок отказал.

Решение. Пусть - событие, состоящие в том, что i-й станок работает. Тогда событие означают отказ i-го станка. Вероятности отказов известны: , , , откуда мы можем найти вероятности противоположных событий : , , Согласно условию задачи все события , независимы.

1) Пусть - событие, состоящее в том, что работают все 3 станка. Тогда , и на основании независимости событий

.

2) Пусть - событие, состоящее в отказе всех трех станков. Тогда ,

.

3) Событие , состоящее в том, что работают только два станка, представляется суммой произведений

.

Слагаемые этой суммы попарно несовместны и каждое из них выражает тот факт, что два каких-либо станка работают, а один отказал. Сомножители каждого слагаемого независимы. Поэтому

.

4) Событие , состоящее в том, что работает только один станок, представляется, по аналогии со случаем 3) в виде суммы произведений ,

Откуда .

5) Событие , состоящее в том, что работает хотя бы один станок, можно представить в виде следующей суммы произведений

.

Однако гораздо удобней воспользоваться противоположным событием для , состоящим в том, что ни один станок не работает, то есть

.

Так как (см. случай 2) , то , а следовательно .

6) Таким же точно образом можно найти вероятность события , состоящего в том, что хотя бы один станок отказал. Именно,

(см.случай 1), откуда .