Распределение Я. Бернулли (биномиальное)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью может произойти некоторое событие А (обычно называемое успехом), . Количество успехов (или количество наступлений события A), которые могут наступить во всех n испытаниях, является случайной величиной, о которой говорят, что она имеет биномиальное распределение, или распределение Якоба Бернулли.

Аналитечески распределение Бернулли выражается так называемой формулой Бернулли, дающей вероятность наступления k успехов (). Имен-но

, (15)

где - вероятность ненаступления успеха А. Вероятность часто обозначается символом .

С помощью формулы Бернулли можно найти многие другие важные вероятности.

а) Вероятность того, что успех наступит не более m раз, равна .

б) Вероятность того, что успех наступит не менее m раз, равна

в) Обе эти формулы являются частными случаями для вероятности того, что при n испытаниях событие А произойдет не менее и не более раз (часто обозначается ), равна

. (16)

Все три формулы доказываются аналогично. Во всех речь идет о нахождении вероятности суммы попарно несовместных событий с вероятностями, определяющимися формулой Бернулли (15).

Вероятность с ростом k сначала возрастает, а затем убывает. Следовательно, должно существовать по крайней мере одно значение , которому соответствует наибольшее значение вероятности. Такое значение называется наивероятнейшим числом успехов и определяется двойным неравенством

. (17)

В зависимости от того, является ли число дробным или целым, су-ществует одно или два наивероятнейших числа. Отметим еще, что если - целое число, то .

Пример 1. Опытом установлено, что в среднем 75% массовой продукции, выпускаемой заводом, являются первосортными. Какова вероят­ность того, что из шести взятых наудачу изделий этого завода четыре окажутся первосортными?

Решение. Будем считать испытанием взятие наудачу одного изделия. Тогда мы имеем n = 6 независимых испытаний. Пусть успех (событие) А состоит в том, что взятое наудачу изделие – первосортное. Вероятность успеха A постоянна и равна , вероятность неуспеха .

Введем далее случайную величину - количество первосортных изделий, то есть количество успехов в 6 независимых испытаниях. Нам нужно найти вероятность . Но, очевидно, имеет распределение Бернулли, и поэтому мы можем найти эту вероятность по формуле Бернулли (15)

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятность того, что из 10 взятых наудачу изделий: а) более 5, б) не более 5 изделий окажут­ся первосортными.

Решение. Здесь производится независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха A (наудачу взятое изделие - первосортно).

Пусть - случайная величина, означающая количество первосортных изделий (из взятых десяти). Как и в предыдущем примере, имеет распределение Бернулли, и нужно найти вероятности , . Первую найдем, используя 5 раз формулу Бернулли (15), а именно:

.

Далее, события и являются противоположными, а поэтому вторая из искомых вероятностей равна

.

Пример 3. Найти вероятность хотя бы одного успеха в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью успеха.

Пусть случайная величина означает количество успехов в n испытаниях, и нужно найти вероятность события . Так как , то

.

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. Сколько детей должна иметь семья, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.99, иметь по крайней мере одного мальчика?

В задаче испытанием является рождение ребенка, успехом А – рождение мальчика, вероятность успеха , вероятность «неуспеха», то есть рождения девочки . Вероятность хотя бы одного успеха на основании предыдущего примера равна . По условию задачи эта вероятность должна быть не меньшей 0.99, то есть нам нужно рассмотреть неравенство относительно n

и найти его наименьшее целое решение. Имеем

.

Таким образом, чтобы удовлетворить условию задачи, семья должна иметь по крайней мере семерых детей.

Замечание. Задача примера 4 относится к числу так называемых обратных, в отличие от прямых задач, где количество испытаний изначально задано.