Формулы Бейеса (вероятности гипотез)

На практике часто приходится иметь дело с такой ситуацией. Имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) с известными веро­ятностями. Сами эти события (гипотезы) непосредственно не наблюдаемы, но можно на­блюдать некоторое связанное с ними событие А, для которого известны условные вероятности

.

В таком случае вероятность того, что событие А произошло вместе с гипотезой­
, то есть вероятность , можно найти по известным формулам Бейеса . (14)

Что касается вероятности события А, то во многих задачах она находится по формуле полной вероятности.

Пример 1. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0.8, семеро - с ве­роятностью 0.7, четверо - с вероятностью 0.6, двое - с вероятностью 0.5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего относится этот стрелок?

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что наудачу выбран­ный стрелок из наудачу взятой группы не попал в мишень. Введем четыре гипотезы , означа­ющие, что этот стрелок принадлежит к первой, второй, третьей и четвертой группам соответственно. Вероятности гипотез находятся по классическому определению вероятности,

,

причем сумма этих вероятностей равна 1. Соответствую­щие условные вероятности события А, то есть вероятности промаха стрелком первой, второй, третьей, четвертой групп, по условию равны

По формуле полной вероятности вероятность того, что наудачу выбран­ный стрелок из наудачу взятой группы не попал в мишень, равна

.

Теперь по формулам Бейеса найдем условные вероятности гипотез отно­сительно события А, то есть вероятности того, что промах допустил стрелок первой, второй, третьей или четвертой группы соответственно.

Отсюда видно, что не попавший в мишень стрелок вероятнее всего принадлежит ко второй группе, то есть группе, стрелки которой попадают в мишень с вероятностью 0.7.

Пример 2. Пусть в условиях примера 1 наудачу выбран­ный стрелок из наудачу взятой группы снова делает один выстрел. Найти вероятность промаха.

Здесь мы снова имеем четыре гипотезы о принадлежности стрелявшего к одной из четырех групп, однако в качестве вероятностей гипотез мы можем принять уточненные вероятности, полученные в результате применения формул Бейеса: . Так как соответствующие условные вероятности события А при этом не изменяются, по формуле полной вероятности мы получаем новое, уточненное значение вероятности события А, именно:

.

Таким образом, формулы Бейеса позволяют уточнить вероятности гипотез на основании результата проведенного испытания.

Пример 3. Три стрелка одновременно выстрелили в мишень с вероятностями попадания 0.6, 0.8, 0.7 соответственно. В результате в мишени появилась одна пробоина. Найти вероятности «принадлежности» пробоины каждому из стрелков.

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что в результате одновременного выстрела тремя стрелками по одной и той же мишени в ней появилась одна пробоина. Пусть, далее, - события, состоящие в попадании в мишень, а - в промахе первым, вторым, третьим стрелком соответственно. Все шесть событий независимы. По условию

.

Очевидно, , а поэтому

.

Дальнейшие рассуждения можно провести двумя способами, второй из которых является более простым, но не так просто находимым.

Первый способ. Гипотезами, учитываемыми при вычислениях, можно считать события

с вероятностями

и соответствующими условными вероятностями события А

.

Остальными пятью гипотезами, которые соответствуют другим возможным результатам трех выстрелов ( - три промаха, - три попадания, , , - попадание какими-либо двумя стрелками), можно пренебречь, так как соответствующие им условные вероятности события А равны нулю. Важно только, чтобы сумма вероятностей всех восьми гипотез была равна 1 (проверьте!), то есть чтобы гипотезы образовывали полную группу событий.

По формулам Бейеса

,

,

.

Второй способ. Чтобы найти вероятность, что единственная пробоина в мишени принадлежит первому стрелку, введем только две гипотезы: событие , означающее попадание первым стрелком при промахе остальных двух, и противоположное ему событие,

.

Вероятность первой гипотезы, которая нам только и нужна, равна

,

а соответствующая условная вероятность события А, как и в первом способе, равна 1. Cледовательно, по формуле Бейеса мы получаем

,

то есть тот же самый результат, что и при первом способе. Произведя такие же рассуждения сначала для второго (гипотезы ), а затем для треть-его стрелков (гипотезы ), мы получим такие же, как и раньше, результаты

.