Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Пусть случайная величина имеет распределение Бернулли (количество успехов в n независимых испытаниях с постоянной веро­ятностью успеха A в каждом испытании). Как сказано выше, вероятность наступления k успехов подсчитывается с помощью формулы Я. Бернулли (15). Однако при больших n, то есть при большом количестве испытаний, использование формулы становится крайне затруднительным. Поэтому вместо нее применяются некоторые другие приближенные формулы.

А) Приближенное значение вероятности наступления k успехов при большом количестве n независимых испытаниях находится с помощью так называемой локальной теоремы Лапласа. Суть теоремы состоит в следующем:

, (18)

где

, (19)

а - так называемая малая функция Лапласа, определяемая формулой

. (20)

Значения функции для положительных значений аргумента находятся из таблицы. Для отрицательных значений x используется свойство четности функции . Отметим также, что при можно считать .

Б) Приближенное значение вероятности наступления не менее и не более успехов при большом количестве n независимых испытаниях находится с помощью так называемой интегральной теоремы Лапласа:

, (21)

где

, (22)

а - функция (или нормированная функция) Лапласа

. (23)

Значения функции Лапласа для положительных значений аргумента находятся из таблицы. Для отрицательных значений x используется свойство ее нечетности . При можно считать .

Пример 1. Найти вероятность того, что среди 100 изделий 55 окажутся отполированными, если в общей массе изделий имеется поровну отполиро­ванных и неотполированных.

Решение. Здесь производится независимых испытаний (проверка каждого из 100 изделий на отполированность). Вероятность успеха А (изде­лие отполировано) , вероятность противоположного события (изделие не отполировано) .

Если ввести случайную величину - количество отполированных изделий из 100 имеющихся, то имеет распределение Бернулли, и требуется найти вероятность . На основании локальной теоремы Лапласа (18) – (20)

.

Пример 2. 96 % деталей, выпускаемых заводом, стандартны. Найти вероятность, того, что в партии из 15 000 деталей этого завода нестандартных не ме­нее 560 и не более 630.

Решение. Если считать испытанием выпуск одной детали, то мы имеем дело с независимых испытаний. Пусть событие («успех») А означает, что наудачу взятая деталь бракованная. Вероятность «успеха» постоянна, вероятность "неуспеха" . Требуется определить вероятность того, что количество выпущенных заводом нестандартных деталей не менее, чем , и не более, чем . Имеем

,

.

Первый способ. На основании интегральной теоремы Лапласа (21) - (23)

Случайная величина - количество нестандартных деталей из 15 000 имеющихся – имеет распределение Бернулли. Имеем

,

,

и на основании интегральной теоремы Лапласа получаем

Пример 3. Вероятность успеха А в независимых испытаниях . Сколько испытаний необходимо провести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.8, иметь не менее пяти успехов?

Задача сводится к нахождению наименьшего целого значения n из следующего неравенства:

, или ,

где случайная величина означает количество успехов.

Используя интегральную теорему Лапласа, имеем

,

где

.

Число n можно считать настолько большим, чтобы иметь . Напри-мер, если предположить, что , то достаточно (проверьте!) считать, что . По условию же мы должны иметь , так что заведомо . Следовательно, мы можем рассмотреть более простое неравенство

.

На основании таблицы значений функции Лапласа заключаем, что

и остается приближенно решить неравенство относительно . Полагая , имеем

.

Можно считать, что .

Итак, для удовлетворения требований задачи необходимо провести как минимум 144 испытания.

Замечание. Задача этого примера также относится к числу обратных.