Отклонение относительной частоты события от его вероятности

Пусть, как и в предыдущих двух разделах, производится n независимых испытаний с постоянной веро­ятностью события А в каждом испытании. Если обозначить (или ) количество наступлений события А, то отношение (или ) является, как известно, относительной частотой события А. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, несложно получить следующую формулу

.(24)

Она дает вероятность того, что относительная частота (или ) события А отклоняется по абсолютной величине от его вероятности не более, чем на некоторое положительное число .

Пример 1. Проводится независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха. Найти вероятность того, что относительная частота успеха отклонится от его вероятности не более, чем на 0.02.

Решение. Если А – успех, то . По формуле (24), в которой следует положить , получаем

.

Пример 2. Вероятность того, что изделие повреждено, равна 0.03. Сколько поврежденных изделий может содержать партия из 100 изделий с вероятностью 0.9?

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие повреждено. По условию, . Если m – количество поврежденных изделий в партии, то относительная частота события А есть . По формуле (24)

. (*)

а) Из условия и формулы (*) прежде всего следует, что

.

б) Зная , из той же формулы (*) и условия получаем

.

Следовательно, с вероятностью 0.9 выполняется неравенство

.

Таким образом, с вероятностью 0.9 в партии может быть не менее одного и не более пяти поврежденных изделий.