Формула полной вероятности. Пусть событие а может произойти с одним и только одним из попарно несовместных событий , образующих полную группу (такие события как правило называют

Пусть событие А может произойти с одним и только одним из попарно несовместных событий , образующих полную группу (такие события как правило называют гипотезами). В этом случае вероятность события А находится в соответствии с так называемая формулой полной вероятности

. (13)

Согласно этой формуле вероятность события А равна сумме произведений вероятностей гипотез на соответствующие этим гипотезам условные вероятности события А.

Пример 1. В первом ящике находится 40 деталей, из них 20 окрашенных, во втором - 50 деталей, из них 10 окрашенных, в третьем - 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из наудачу взятого ящика является окрашенной.

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь из наудачу взятого ящика является окрашенной. Оно может произойти только в том случае, если произойдет одна и только одна из следующих трех гипотез: - деталь взята из первого ящика, - деталь взята из второго ящика, - деталь взята из третьего ящика. Вероятности всех этих гипотез, вычисленные в соответствии с классическим определением вероятности, равны

.

Соответствующие условные вероятности события А, также вычисленные с помощью классического определения вероятности, равны

.

На основании формулы полной вероятности

Пример 2. Техническое устройство содержит три блока, работающих независимо. Надежность первого блока, то есть вероятность безотказной его работы в течение определенного промежутка времени , равна 0.6, второго – 0.5, третьего – 0.3. Для выхода из строя технического устройства до­статочно отказа всех трех блоков. При отказе одного из блоков устройство выходит из строя с вероятностью 0.2, а при отказе двух блоков – с вероятностью 0.6. Найти вероятность отказа технического устройства в течение промежутка времени .

Решение. Обозначим буквой А событие, вероятность которого требуется найти: отказ технического устройства в течение промежутка времени . Введем следующие гипотезы: - отказ одного блока, - отказ двух блоков, - отказ трех блоков, - бесперебойная работа всех трех блоков в течение этого промежутка. Соответствующие условные вероятности события А равны

.

Равенство нулю условной вероятности позволяет нам при вычислениях не принимать гипотезу во внимание. Однако необходимо проверить, образуют ли все четыре гипотезы полную группу событий.

Для нахождения вероятностей гипотез введем события , означающие отказ первого, второго, третьего блока соответственно. Тогда события состоят в отсутствии отказов этих блоков. События независимые. По условию

,

откуда

.

Далее,

и поэтому

,

,

,

.

Так как сумма вероятностей гипотез равна единице, то они образуют полную группу событий.

По формуле полной вероятности имеем

.