Классификация индексов

Индексы объемных и качественных показателей.

Объемные индексы служат для измерения изменения объемных показателей (смотри лекцию «статистические показатели»). Объемные показатели выражаются абсолютными величинами. Например, объем выпуска продукции, численность работающих.

Качественные индексы служат для измерения изменения качественных показателей. Качественный показатель определяется в расчете на количественную единицу. Примером таких показателей могут служить: цена, себестоимость единицы продукции, трудоемкость единицы продукции, производительность труда и т.п.

Индивидуальные и сводные индексы.

Индекс по степени охвата элементов явления (представляющих собой единицы совокупности) разделяют на индивидуальные и сводные (общие).

Индивидуальный индекс измеряет изменение отдельного элемента явления (например, изменение объема выпуска телевизоров определенной марки, рост или падение цен на акции в некотором акционерном обществе и т.д.). Индивидуальные индексы обозначаются i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя: i_q - индивидуальный индекс физического объема определенного вида продукции, i_p – индивидуальный индекс цен на определенный вид продукции и т.д.

Индивидуальные индексы относятся к одному элементу и не требуют суммирования данных. Они рассчитываются как отношение двух индексируемых величин, относящихся к различным периодам времени или объектам: .

Например: i_p =p1/p0 - индивидуальный индекс цен, где p1,p0 - цены единицы продукции в текущем (отчетном) и базисном периодах. i_q =q1/q0 - индивидуальный индекс физического объема продукции.

Сводный (общий) индекс – индекс, отражающий изменение всех элементов явления. Например, изменение физического объема продукции предприятия, выпускающего разноименные товары; изменение цены на разные группы товаров и т.д.

Если индексы охватывают не все элементы явления, а лишь часть, то их называют групповыми или субиндексами (например, индексы продукции по отдельным отраслям промышленности).

Сводный индекс обозначается буквой I и также сопровождается подстрочным знаком индексируемого показателя: например, Ip - сводный индекс цен; Iz - сводный индекс себестоимости.

Методика расчета сводных (общих) индексов сложнее, чем индивидуальных. Любые сводные (общие) индексы могут быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных.

Следует подчеркнуть, что статистика применяет, главным образом, сводные и групповые индексы, которые и составляют особый прием исследования, именуемый индексным методом.

Агрегатные индексы – основная форма индексов.

Агрегатный индекс является основной формой индекса. «Агрегатным» он называется потому, что его числитель и знаменатель представляют собой набор – «агрегат» (от латинского aggregatus – складываемый, суммируемый) элементов, относящихся к изучаемому явлению. Агрегатный индекс строится как отношение сумм произведений двух величин: 1) индексируемой величины- х, которая меняется в числителе по сравнению со знаменателем, 2) соизмерителя (веса индекса) - f, который остается неизменным в числителе и знаменателе. Произведение индексируемой величины на вес индекса (соизмеритель) называют результативным показателем.

где х1 – сравниваемое (текущее) значение данного признака;

х0 – базисное значение, относящееся к базовому периоду времени, либо базовому объекту сравнения.

j – номер элемента, совокупность которых образует сложное явление (j=1;J).

х_j·f_j – результативный показатель для i–ого элемента.

Если в качестве весов брать значения признака-веса за базисный период времени (или относящиеся к базисному объекту), то формула агрегатного индекса примет вид:

Ее еще называют агрегатной формой индекса Ласпейреса (по имени ученого Э.Ласпейреса, предложившего ее впервые в 1864 г.).

Если в качестве весов брать значения признака-веса за текущий период времени (или относящиеся к текущему объекту), то формула агрегатного индекса примет вид:

Ее еще называют агрегатной формой индекса Пааше (по имени ученого Г.Пааше, предложившего ее впервые в в 1874 г.).

В качестве веса индекса при построении индекса объемного показателя выступает качественный показатель. Рассмотрим построение агрегатного индекса на примере индекса физического объема. В данном случае индексируемой величиной будет q – показатель физического объема выпуска продукции внатуральных единицах измерения. Весом индексирования может быть p- цена, либо z-себестоимость, либо t-трудоемкость единицы продукции. Эти «соизмерители» дадут результативные показатели: стоимость- p∙q, общие затраты на производство в денежных единицах –z∙q, затраты времени на производство данного объема продукции – t∙q соответственно.

Остановимся на первом варианте, когда в качестве признака-веса используется цена за единицу продукции. Если принять в качестве соизмерителя цену базисного периода (р0), то получим индекс физического объема в форме индекса Ласпейреса: . Если принять в качестве соизмерителя цену отчетного периода, то получим индекс физического объема в форме индекса Пааше:

.

Весом индексирования при построении индекса качественного показателя выступает объемный показатель. Рассмотрим построение агрегатного индекса на примере качественного показателя – p цены за единицу продукции. Весом индекса будет физический объем выпуска. Результативный показателем при этом будет общая стоимость произведенной продукции. Как и в случае агрегатного индекса физического объема возможен выбор в качестве веса количества продукции отчетного периода (формула Пааше) или количества продукции базисного периода (формула Ласпейреса).

Формула агрегатного индекса цен Ласпейреса: .

Формула агрегатного индекса цен Пааше: .

Сводные индексы результативных показателей

Сводный индекс результативного показателя представляет собой отношение суммы результативных показателей текущего периода (объекта) к сумме результативных показателей базисного периода (объекта): I_f= .

Например, отношение стоимости продукции базисного (текущего) периода s1=q1·p1 к стоимости продукции базисного периода s0=q0·p0 представляет собой сводный индекс стоимости продукции или товарооборота: I_s= .

Этот индекс показывает во сколько раз в среднем возросла (уменьшилась) стоимость продукции (товарооборота) отчетного периода по сравнению с базисным.

ПРИМЕР. Имеются данные о фактическом выпуске продукции машиностроительным предприятием за два года:

Виды продукции	Выпуск продукции в натуральном выражении	Цена производителя за единицу, млн.руб.	Индивидуальные индексы физического объема продукции: iq=q1/q0	Индивидуальные индексы цен: ip=p1/p0	Индивидуальный индекс стоимости: ipq=p1·q1/p0·q0
Базисный период q0	Отчетный период q1	Базисный период p0	Отчетный период p1
					1,5	1,1(6)	1,75
					1,4	0,875	1,225
					1,(3)		1,(3)

Задание: рассчитать сводные и индивидуальные индексы. Сделать выводы..

Расчет индивидуальных индексов смотри в таблице (столбцы 6,7, 8).

Общие индексы физического объема:

- Ласпейреса =1,3902.

- Пааше =1,392.

Вывод: в целом по трем видам продукции наблюдается рост физического объема выпуска за рассматриваемый период на 39%.

Общие индексы цены:

- Ласпейреса =0,963.

- Паше =0,965.

Вывод: в целом по трем видам продукции наблюдается снижение цен за рассматриваемый период на 3,5 -4%.

Общие индексы стоимости:

=1,34.

В целом по трем видам продукции за рассматриваемый период стоимость возросла на 34%.

Средние (арифметические и гармонические) индексы на основе индивидуальных индексов.

Сводный индекс может быть построен как средняя арифметическая или гармоническая взвешенная из индивидуальных индексов. При этом значение среднего индекса должно совпадать со значением агрегатного индекса (Ласпейреса или Пааше). Весами усреднения выступают в данном случае результативные показатели (либо базисного, либо текущего уровня): f_j=x_j·f_j.

I_x^ар= ; I_x^гарм= .

Вид степенной средней зависит от имеющейся в нашем распоряжении информации.

Если имеются данные об индивидуальных индексах (i_xj) и о значении результативного показателя за базисный период времени (либо относящиеся к базисному объекту) -(f0_j=x0_j·f0_j), то усреднение происходит по формуле средней арифметической взвешенной с весами равными результативному показателю базисного периода. Данный индекс тождественен агрегатной форме индекса Ласпейреса:

Если имеются данные об индивидуальных индексах (i_xj) и о значении результативного показателя за текущий период времени (либо относящиеся к текущему объекту) -(f1_j=x1_j·f1_j), то усреднение происходит по формуле средней гармонической взвешенной с весами равными результативному показателю текущего периода. Данный индекс тождественен агрегатной форме индекса Пааше:

В качестве весов могут приниматься не только абсолютные значения результативного показателя, но и относительные величины - доли, проценты результативного показателя отдельной единицы (элемента) в общем объеме результативного показателя по совокупности (явлению) в целом.

d0_j= ; d1_j= .

I_x^ар= ; I_x^гарм= .

Пример: рассчитаем сводные индексы физического объема и цены по данным таблицы, приведенной выше, как средние из индивидуальных.

=1,39.

=1,392.

=0,963.

=0,965.

Значения агрегатных индексов, рассчитанные по формулам Ласпейреса и Пааше, редко совпадают. Для получения обобщенного показателя агрегатного индекса, дающего однозначное решение возможно:

1) построить общий индекс на средних весах:

.

2) построить общий индекс как среднее геометрическое из индексов Ласпейреса и Пааше: I_x= .

Этот способ предложил Фишер и назвал данную формулу «идеальным индексом».

3) выбрать (предпочти) какой-то один вариант построения взаимосвязанных индексов. Последний метод был избран отечественной статистикой, в которой изменение объемных показателей измеряется по формуле Ласпейреса, а изменение качественных показателей – по формуле Пааше.

Индексный метод анализа факторов в изменении сложного явления.

Некоторые социально-экономические показатели находятся между собой в определенной (функциональной) связи, например, в виде произведения (либо отношения). В таком же соотношении должны находиться и статистические показатели, характеризующие изменение исходных социально-экономических показателей (т.е. индексы).

Если z=x·y, то Iz=Ix·Iy

Данное соотношение между индексами осуществимо, если веса индексирования для Ix и Iy берутся за разные периоды времени (или относятся к разным объектам), т.е. один из индексов должен быть построен по формуле Ласпейреса, а другой - по формуле Пааше:

.

Например, общая стоимость продукции равна произведению цены за единицу продукции на физический объем выпуска: S=p·q. Тогда сводный индекс стоимости должен быть равен произведению сводного индекса цен на сводный индекс физического объема. Чтобы выполнялось данное условие необходимо, чтобы веса при построении индексов цен и физического объема относились к разным уровням. Обычно индекс цен вычисляется по формуле Пааше, а индекс физического объема по формуле Ласпейреса.

I_s=I^п_p·I^л_q = .

Индексный метод позволяет также представить абсолютное изменение результативного показателя(Dz), как результат влияния различных факторов (входящих в формулу его расчета).

Общее абсолютное изменение результативного показателя текущего уровня по сравнению с базисным определяется как разница между числителем и знаменателем в формуле сводного индекса данного результативного показателя:

Dz= .

Оно может быть разложено на составляющие: абсолютные изменения за счет отдельных факторов, входящих в его расчетную формулу (Dz^x, Dz^y).

Dz^x= ;

Dz^y= ;

Dz=Dz^x+Dz^y.

Например, абсолютный прирост стоимости продукции может быть представлен как: Ds= .

И разложен на:

1) абсолютный прирост стоимости за счет изменения цен:

D^ps= .

2) абсолютный прирост стоимости за счет изменения количества выпускаемой продукции: D^qs= .

Общее абсолютное изменение стоимости продукции равно алгебраической сумме изменений за счет каждого из факторов:

Ds=D^ps+D^qs.