Структурные характеристики распределения: квантили распределения и мода

К структурным характеристикам ряда распределения относят квантили распределения (медиану, квартили, децили и др.) и моду.

Квантили распределения представляют собой обобщающие показатели, характеризующие структуру распределения признака в совокупности.

Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности.

Виды квантилей:

1) медиана – Ме значение признака, приходящееся на середину упорядоченной совокупности,

2) квартили Q_1/4, Q_2/4=Ме, Q_3/4 – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 4 равные части,

3) децили Q_0,1,Q_0,2,…,Q_0,9 – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 10 равных частей,

4) процентили Q_0,01,Q_0,02,…,Q_0,99 - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 100 равных частей.

ПРИМЕР. Определим медиану для признака х – объем продаж за период по совокупности 12 предприятий розничной торговли. Для этого упорядочим совокупность по х:

Номер единицы

х

Номер по порядку

Q_1/4 Q_2/4=Ме Q_3/4

В совокупности 12 единиц. Середина приходится на 6 и 7 элементы, значения признака у которых 31 и 32 соответственно. Медианой будет среднее из значений этих элементов, т.е. Ме=(31+32)/2=31,5 (усл.ед.).

Первый квартиль отделяет первую четверть элементов совокупности (т.е. 3 единицы). Его значение будет равно среднему из значений признака у 3-его и 4-ого элементов, т.е. Q_1/4=(28+30)/2=29 (усл.ед.).

Третий квартиль отделяет последнюю четверть элементов совокупности. Его значение будет равно среднему из значений признака у 9-го и 10-го элементов, т.е. Q_3/4=(33+35)/2=34.

Если данные сгруппированы, то значение квантиля определяется по накопленным частотам: номер группы (j), которая содержит i-ый квантиль, определяется как номер первой группы от начала ряда, в которой сумма накопленных частот равна или превышает N·i, где i- индекс квантиля.

Если ряд интервальный, то значение квантиля уточняется по формуле: ,

где X_Qi- нижняя граница интервала, в котором находится i-ый квантиль;

F_(-1) – сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится i-ый квантиль;

N_Qi – частота интервала, в котором находится i-ый квантиль.

ПРИМЕР. Определим медиану распределения признака х – объем продаж по сгруппированным данным (равноинтервальная группировка):

N группы –j	Объем продаж за период – (хн j; х вj)	Количество предприятий– частота - Nj	Накопленная частота- Fj сравнивается с N∙0,5 = 6
	[26; 30)		3 ≥ 6 (ЛОЖЬ)
	[30; 34) Ме		9 ≥ 6 (ИСТИНА)
	[34; 38)
ИТОГО

Определим номер группы, содержащей Ме. Это будет 2-ая группа, т.к. именно в нее попадают серединные элементы совокупности (Накопленная частота F₂=9, что больше N·0,5=12·0,5=6).

Теперь уточним значение Ме по формуле (*):

Q_2/4=Me=30+4·(6-3)/6=32 (усл.ед.).

X_Q2/4=30; D_Q2/4=4; F_(-1)=F₁=3; N_Q2/4=6.

Наиболее распространенным видом квантилей является медиана. Медиана не требует знания всех индивидуальных значений признака. Она не чувствительна к крайним значениям признака, которые могут резко отличаться от основной массы его значений. Поэтому медиану используют как наиболее надежный показатель типичного значения признака в неоднородной совокупности (включающей резкие отклонения от ).

Медиана находит практическое применение также вследствие особого математического свойства – сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая: å(Х_i-Ме)®min.

Мода (Мо[х]) – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Для дискретного ряда мода – это значение признака, которому соответствует наибольшая частота (частость) распределения. Для интервального ряда – это значение признака, которому соответствует наибольшая плотность распределения. Если ряд равноинтервальный, то значение моды можно определить по частотам (частостям): их соотношение будет таким же, что и плотностей распределения. Кроме того, значение моды в случае равноинтервального ряда можно уточнить по формуле:

Мо=Х_Мо+D_Мо ·(N_Mo-N_Mo-1) / (N_Mo-N_Mo-1 +N_Mo-N_Mo+1),

где N_Mо, N_Mо-1, N_Mо+1 – частоты, соответственно, модального, предшествующего и последующего интервалов.

ПРИМЕР. Определим моду для распределения признака объем продаж, используя данные равноинтервальной группировки. Модальным будет 2-ой интервал [30 –34], т.к. в этом интервале наибольшая частота (N_M0=6). Приближенное значение Мо определим по формуле: Мо=30+4(6-3)/(6-3+6-3)=32 (усл.ед.).

Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то говорят, что этот вариационный ряд не имеет моды. Если две не соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называют бимодальным; если таких вариант больше двух, то ряд – полимодальный.

Мода также как и медиана не требует знания всех индивидуальных значений признака и поэтому может быть использована в качестве наиболее типичного значения признака в неоднородной совокупности.