Коэффициент эксцесса -показатель островершинности распределения (Ex) (рассчитывается для симметричных распределений)

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений. Наиболее точным является показатель, использующий центральный момент четвертого порядка (М4):

.

(для нормального распределения отношение М4/s⁴=3, следовательно эксцесс равен нулю). Наличие положительного эксцесса означает, что распределение более островершинное чем нормальное; отрицательное значение эксцесса означает более плосковершинный характер распределения, чем у нормального.

Ex >0

Ex =0

Ex <0

Рис. Эксцесс распределения.

Для оценки существенности коэффициента эксцесса вычисляется показатель средней квадратической ошибки коэффициента эксцесса: . Отношение ç Ex ç/ s_{Ex ,} дающее значение меньше 2, свидетельствует о несущественном характере эксцесса (близости распределения по характеру островершинности к нормальному).

Следующий этап анализа формы распределения – сравнение эмпирического распределения с теоретическим (т.е. с известным, изученным распределением).

Эмпирическое распределение – распределение, полученное по данным статистического наблюдения. Эмпирическая кривая распределения – полигон или гистограмма.

Теоретическое распределение – распределение хорошо изученное, которое можно задать некоторым аналитическим выражением (формулой).

Для непрерывного признака задают функцию плотности вероятности – f(x) (аналог гистограммы относительных плотностей); для дискретного – функцию вероятности распределения – P(x) (аналог полигона частостей).

Зная функцию распределения можно вычислить интегральную функцию распределения – F(x) (аналог кумуляты).

Нормальное (гауссово) распределение.

Нормальное распределение может быть представлено графически в виде симметричной куполообразной кривой. Куполообразная форма кривой показывает, что большинство значений концентрируется вокруг центра измерения. А единиц с сильно отличающимися (в большую или меньшую сторону) значениями признака очень мало.

Уравнение нормальной кривой: ,

где p=3,1415 и е=2,7182 – математические константы, a – математическое ожидание х (для статистической совокупности a= ), s- среднее квадратическое отклонение. Интегральная функция плотности вероятностей: .

P(x≤xi)=F(xi). Например, P(x≤ )=1/2.

Особенности кривой нормального распределения:

Кривая симметрична относительно максимальной ординаты, которая соответствует значению х=Мо=Ме= , ее величина равна .

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значения отклоняются от х, тем реже они встречаются. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной х от равновероятны.

Кривая имеет 2 точки перегиба, находящиеся на расстоянии ±s от .

При =const с увеличением s кривая становится более пологой. При s=const с изменением кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс.

В промежутке ±s находится 68,3% всех значений признака. В промежутке ±2s находится 95,4% всех значений признака. В промежутке ±3s находится 99,7% всех значений признака.

Параметры нормального распределения:

Мо=Ме= , Аs=0, Ех=0.

Свойства нормального распределения:

1.Если yi (i=1;n) –независимые случайные величины, распределенные нормально, то их сумма также распределена нормально.

2. Если y- случайная величина, распределенная нормально, то x=A+B·y также имеет нормальное распределение с мат.ожиданием M[x]=A+B·M[y]; и средним квадратическим отклонением σ[x]=B·σ[y].

Многие экономические величины распределены по нормальному закону (урожайность, длительность производственного цикла и другие). Нормальный закон свидетельствует о том, что на величину х влияет множество аддитивных факторов, действие каждого из которых равновероятно и незначительно.

Если эмпирическое распределение близко к нормальному это свидетельствует об однородности совокупности, статистические характеристики, рассчитанные для такой совокупности, будут достаточно надежными.

Стандартное нормальное распределение (распределение без параметров) - это нормальное распределение с математическим ожиданием равным 0 (а=0) и средним квадратическим отклонением равным 1 (σ=1). Пусть t- случайная величина, распределенная по стандартному нормальному законную. Тогда:

; - (имеются статистические таблицы со значениями данного интеграла).

От нормально распределенной случайной величины х можно всегда перейти к величине t, распределенной по стандартному нормальному закону: .

Тогда: P(x≤xi)=P(t≤ti)=F(ti) (значения F(t) определяются по статистическим таблицам).