Теорема (правило) о разложении дисперсии при группировании

Пусть при группировке совокупности по некоторому признаку Х было образовано m однородных групп. Согласно теореме (правилу) о разложении дисперсии общая дисперсия признака Х (по совокупности в целом) может быть разложена на две составные части: 1) межгрупповую и 2) остаточную (среднюю из внутригрупповых) дисперсии: s² =d²+e².

Общая дисперсия рассчитывается по формуле простой дисперсии и показывает величину вариации признака, обусловленную всеми факторами, влияющими на данный признак.

Межгрупповая дисперсия характеризует ту часть общей вариации признака, которая обусловлена делением совокупности на группы. Если деление совокупности на группы обусловлено факторами, влияющими на интересующий нас признак, то данную дисперсию называют еще факторной дисперсией. Межгрупповая дисперсия равна среднему взвешенному квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней : ,где Nj- численность единиц в j-ой группе.

Средняя из внутригрупповых (или остаточная) дисперсия - характеризует остаточную вариацию, несвязанную с группированием. То есть, характеризует вариацию признака, обусловленную прочими факторами, не связанными с делением совокупности на группы. Вычисляется она как средняя взвешенная из внутригрупповых дисперсий: , j=1;m, где s_j² - дисперсия признака внутри j–ой группы.

Применение теоремы о разложении дисперсии.

1. Межгрупповую (или остаточную) дисперсию используют в качестве критерия группирования для группировок с одинаковым числом групп. Очевидно, что чем больше межгрупповая дисперсия d², тем лучше проведена группировка (выделенные при группировки группы сильнее различаются между собой). Лучшей будет та группировка, у которой величина d² больше (или e² меньше).

2. Пользуясь теоремой сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям отыскать третью – неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

3. В случае аналитической группировки, теорема о разложении дисперсии позволяет через межгрупповую дисперсию оценить влияние признака-фактора (х) на вариацию признака-результата (y) с помощью показателя – эмпирического корреляционного отношения - r= . Данный показатель варьирует от 0 до 1. Близость к единице свидетельствует о сильной зависимости результата - y от фактора - х. Близость к нулю свидетельствует о слабой зависимости.