Этап – вариационный анализ

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую, могут значительно отличаться друг от друга по степени рассеяния (вариации) признака. Если индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга (см.рис. А), то средняя арифметическая будет достаточно надежной показательной характеристикой типичного уровня в данной совокупности. Если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений признака (см. рис. Б)), то средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой типичного уровня этой совокупности и ее практическое применение будет ограничено.

А) ······´····· Х

Б) · · · · · · ´ · · · · · Х

Для измерения рассеяния (вариации) признака применяются различные абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся:

· Размах вариации - R (разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности): R=Xmax-Xmin.

Среднее по совокупности отклонение индивидуального значения признака от его среднего уровня измеряют два следующих показателя вариации: среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

· Среднее линейное отклонение - d представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда полагают, что среднюю вычитают из варианта):

где N – объем совокупности; m- число групп;

f_j – частота в j–ой группе (у j–ого варианта значения признака).

Математические свойства модулей плохие, поэтому часто на практике применяют другой показатель среднего отклонения от средней - среднеее квадратическое отклонение.

·
Среднее квадратическое отклонение - s представляет собой среднюю квадратическую из отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

· Дисперсия – s² это квадрат среднего квадратического отклонения. Она представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. Она может быть также вычислена, как разность среднего квадрата значения признака и квадрата среднего арифметического значения признака: .

Среднее квадратическое отклонение наряду с дисперсией входят в большинство теорем теории вероятности и математической статистики, что обусловливает их широкое применение на практике. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные части, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака.

Основные вычислительные свойства дисперсии:

1) дисперсия постоянной величины равна 0;

2) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не изменится;

3) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число А раз (А-const), то дисперсия уменьшится в А² раз.

Относительные показатели вариации применяют, если необходимо оценить интенсивность вариации, или сравнить вариацию признака в различных совокупностях, или сравнить вариацию различных признаков. Показатель относительной вариации рассчитывается как отношение абсолютного показателя вариации к среднему значению.

Самым распространенным относительным показателем рассеяния является коэффициент вариации. Он представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической: .

Коэффициент вариации используют также как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.