Линейные модели

Коэффициенты линейной модели определяют по результатам реализованного плана:

b₀ = (åy_i) / N; b_j = (åx_jiy_i) / N; (5.4)

где i, j – номер соответственно опыта (от 1 до N) и фактора (от 1 до k), подставляют в полином первой степени

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … +b_kx_k (5.5)

и получают искомую линейную многофакторную математическую модель.

Далее следует доказать адекватность (соответствие) модели реальным условиям эксперимента. Адекватность определяется сравнением эффектов взаимодействия факторов на параметр с ошибкой эксперимента. Эффекты взаимодействия рассчитываются по следующей формуле:

b_jk = (åx_jix_kiy_i) / N, (5.6)

где j, k – номера факторов.

Если хотя бы один эффект взаимодействия по абсолютной величине больше ошибки эксперимента, то линейная модель неадекватна. Ошибка технического эксперимента обычно равна 5-10% от среднего значения функции - b₀ и рассчитывается с учетом повторных опытов по формуле:

S = (5.7)

где n₁ – количество опытов с повторениями, m – количество повторов каждого опыта.

В случае неадекватности линейной модели, необходимо увеличивать степень аппроксимирующего полинома, а для этого необходимо добавлять опыты к имеющимся полным факторным экспериментам [1,3,4].

Проиллюстрируем вышесказанное на примере получения линейной модели зависимости использования газового потока h_со,% (у) доменной печи полезным объёмом 2000 м³ от массы подачи М,т (х₁) и количества прямых подач А,% (х₂). Масса подачи изменялась от 25 до 30 т, а прямые подачи – от 50 до 100%. Поскольку факторов два, то воспользуемся стандартным планом (5.3). Занесем выбранный план в табл. 5.1 вместе с натуральными значениями факторов.

Таблица 5.1

№ пп (N)	Фактор	Параметр (функция), у (hсо),%
х1 (М,т)	х2 (А,%)	Уэксп.	Уповт.	`Уср.	Урасч.
Код	Натура	Код	Натура
	– 1		– 1		39,0	-		39,325
	+1		– 1		40,0	40,8	40,4	40,075
	– 1		+1		38,1	39,1	38,6	39,325
	+1		+1		38,7	-	38,7	39,025

Рассчитаем коэффициенты регрессии по формулам (5.4) полинома первой степени (5.5):

b₀ = (39 + 40,4 + 38,6 + 38,7) / 4 = 39,175;

b₁ = (-1_* 39 +1_* 40,4 –1_* 38,6 +1_* 38.7) / 4 = 0,375;

b₂ = (-1_* 39 –1_* 40,4 +1_* 38,6 +1_* 38,7) / 4 = -0,525.

Математическая модель (линейный двухфакторный полином) влияния массы подачи и количества прямых подач на использование газового потока будет выглядеть следующим образом:

y = 39,175 + 0,375x₁ – 0,525x₂.

Подсчитаем расчетные значения функции у_расч для каждого опыта и подставим в табл. 5.1:

у₁ = 39,175 + 0,375_* (-1) – 0,525_* (-1) = 39,325;

у₂ = 40,075; у₃ =39,325; у₄ = 39,025.

Сравнивая расчетные данные у_расч с экспериментальными у_эксп видим, что совпадение между ними плохое, следовательно, необходимо проверить адекватность линейной модели.

Рассчитаем ошибку опыта, используя повторные опыты №2 и №3 по формуле (5.7):

S = Ö (2(40 – 40,4) ² +2 (38,1 –38,6) ²) /2_* (2 – 1) = 0,64.

и сравним её с коэффициентами регрессии модели. Видим, что они соизмеримы с ошибкой эксперимента, следовательно, линейная модель неадекватна. Для увеличения степени полинома, с целью получения адекватной модели, необходимо добавлять количество опытов с использованием нового стандартного плана.