Нелинейные модели

Для получения модели второй степени воспользуемся симметричным композиционным ортогональным трехуровневым планом [7] (табл. 5.2),

Таблица 5.2

№ пп (N)	Фактор	Параметр (функция), у (hсо),%
х1 (М,т)	х2 (А,%)	Уэксп.	Уповт.	`Уср.	Урасч.
Код	Натура	Код	Натура
	–1		–1		39,0	-		38,5
	+1		–1		40,0	40,8	40,4	41,0
	–1		+1		38,1	39,1	38,6	38,05
	+1		+1		38,7	-	38,7	39,23
	–1				40,2	-	40,2	41,48
	+1				44,8	43,6	44,2	43,31
		27,5	–1		40,7	-	40,7	40,85
		27,5	+1		39,5	-	39,5	39,75
		27,5			43,7	-	43,7	43,5

который состоит из ядра (ПФЭ), четырех опытов в «звёздных точках» и одного в нулевой (центральной) точке, причем в виде ядра воспользуемся уже имеющимся планом предыдущего параграфа.

Полный квадратичный полином (часть ряда Тейлора (4.1а)) для данного плана следующий:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₁x₁² + b₂₂x₂² + b₁₂x₁x₂ (5.8)

Коэффициенты регрессии к нему подсчитываются по более сложным формулам:

b₀ = P₁åy_i – P₂ååx_ji²y_i; b_j = P₃åx_jiy_i;

b_jj = P₄åx_ji²y_i + P₅ååx_ji²y_i – P₂åy_i; b_jk = P₆åx_jix_kiy_i, (5.9)

где Р₁…Р₆ – постоянные коэффициенты присущие выбранным планам. Итак, рассчитываем коэффициенты полинома (5.8):

b₀ = 0.556_* (39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2+40.7+39.5+43.7) – 0,333_*

(39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2+39+40.4+38.6+38.7+40.7+39.5) = 43,5;

b₁ = 0.1667_* (-39+40.4-38.6+38.7-40.2+44.2) = 0,917; b₂ = -0,55;

b₁₁ = 0.5_* (39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2) – 0.333_* (39+40.4+38.6+38.7+40.2+44.2+40.7+39.5+43.7)= -1,11; b₂₂ = - 3,21;

b₁₂ = 0.25_* (39 – 40.4 – 38.6 + 38.7) = - 0,325.

Таким образом, нелинейная математическая модель зависимости использования газового потока от массы подачи и системы загрузки выразится полиномом второй степени

h_со = 43,5 + 0,917х₁ – 0,55х₂ – 1,11х₁² –3,21х₂² – 0,325х₁х₂. (5.10)

Определим адекватность (соответствие экспериментальным данным) полученной модели, по критерию Фишера:

F_расч = S²_ад / S²_оп, (5.11)

где S²_ад и S²_{о п} – дисперсия адекватности и эксперимента соответственно. Рассчитаем дисперсию адекватности по формуле

S²_ад = , (5.12)

где и - расчетные и средние значения параметра, n и k - количество опытов и факторов соответственно. Для этого предварительно рассчитаем по формуле (5.10) значения и занесём их в последний столбец табл. 5.2. Дисперсия адекватности

S²_ад = (38.5-39)²+(41-40.4)²+(38.05-38.6)²+(39.23-38.7)²+(41.48-40.2)²+

+ (43.31-44.2)²+ (40.85-40.7)²+(39.75-39.5)²+(43.5-43.7)² / (9-6-1) = 1,79

Дисперсию эксперимента рассчитаем по трем повторенным опытам 2, 3 и 6-му:

S²_оп = 2(40.4-40)²+2(38.6-38.1)²+2(44.2-44.8)²/ 3_* (2-1) = 0,513.

Расчетный критерий Фишера равен F_расч = 1,79 / 0,513 = 3,49 < 4,28 = F_табл . Заключаем: поскольку расчетный критерий Фишера меньше табличного, значит модель адекватна.