Статистична перевірка статистичних гіпотез

Результати експерименту {x_i}, , як правило, є дискретною або неперервною випадковою величиною X у зв’язку з тим, що на процес експерименту впливають не тільки управляючі фактори, але й велика множина випадкових об’єктивних факторів і суб’єктивних чинників. Обробка результатів експерименту дозволяє отримати статистику (статистичну оцінку) j (x₁, x₂,…, x_k), яку можна розглядати як випадкову величину, закон розподілу якого в загальному випадку залежить від класу теоретичного закону розподілу Ψ = Ψ (X, Θ₁, Θ₂, …,Θ_p) випадкової величини X, параметрів цього закону Θ₁, Θ₂, …,Θ_p , роль яких відіграють точкові чи інтервальні оцінки: математичне сподівання, дисперсія, мода тощо.

Закон розподілу статистики залежить від повноти наших знань про гіпотетичний закон розподілу ГС. Числові характеристики статистики є статистичними точковими оцінками невідомих параметрів теоретичного розподілу Ψ = Ψ (X, Θ₁, Θ₂, …,Θ_p).

Статистичними гіпотезами називаються будь-які гіпотези відносно генеральних сукупностей. Вони поділяються на:

а) гіпотези щодо розподілу ГС;

б) гіпотези щодо параметрів Θ₁, Θ₂, …,Θ_p відомого закону розподілу ГС;

в) інші гіпотези (про рівність параметрів декількох розподілів, про незалежність вибірок тощо).

Точність оцінювання математичного сподівання Q = m здійснюється через середнє вибіркове Q*= і визначається довірчим інтервалом DQ із такими межами:

,

де точність оцінки d для великого обсягу вибірки n визначається як d = , а для малого – .

Довірчий інтервал DQ = із заданою надійністю (довірчою ймовірністю, вірогідністю) e покриває оцінюваний параметр m, тобто p (Q Î DQ) .

Параметр, який доповнює до одиниці надійність e є рівень значущості a, а саме: a = 1 – e.

Статистичні гіпотези класифікуються таким чином:

а) проста гіпотеза, якщо вона має тільки одне припущення;

б) складна гіпотеза складається із кінцевого або нескінченного числа простих гіпотез;

в) нульова (основна) гіпотеза – це гіпотеза H₀, яку висувають;

г) конкуруюча (альтернативна) гіпотеза – це гіпотеза H₁, яка суперечить нульовій.

Статистичним критерієм (або просто критерієм) називають випадкову величину K, яка служить для перевірки гіпотези. Значення критерію, яке обчислено за вибіркою називається спостерігаючим (емпіричним) значенням K_сп.

Область прийняття гіпотези (довірчий інтервал, область допустимих значень) називається сукупність значень критерію K, при якому нульову гіпотезу приймають. Цій області відповідає довірча ймовірність e.

Критична область – це сукупність значення критерію K, при якому нульову гіпотезу відкидають (відхиляють).

Критичними точками (границями) k_кр називають точки, що відділяють критичну область від області прийняття гіпотези. Критичні області поділяються на односторонні (лівосторонні та правосторонні), а також на двохсторонні. Їх зображають на координатній осі абсцис.

____________ e ______________0__ k_кр //////////////////////////// a////////////////////////////////////////

Рис. 1. Правостороння критична область:

K > k_кр , P (K > k_кр ) = a, P (K < k_кр ) = e, k_кр > 0

////////////////////// a////////////////k_кр__ 0_____________________ e _____________________

Рис. 2. Лівостороння критична область:

K < k_кр , P (K < k_кр ) = a, P (K > k_кр ) = e, k_кр < 0

/////////////// a/2//////////(-k_кр)____________0______________k_кр///////////////a/2//////////////////

Рис. 3. Двохстороння симетрична (відносно нуля x=0) критична область:

K < -k_кр , P (K < - k_кр ) = a/2, (k_кр > 0); K > k_кр , P (K > k_кр ) = a/2, P (K < - k_кр ) + P (K > k_кр ) = a; P (-k_кр< K < k_кр ) = e. Для несиметричної двосторонньої критичної області: K < k₁ , K > k₂, де k₂ > k_1.

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез: якщо значення спостерігаємого критерію K_сп1 належить критичній області, то нульову гіпотезу H₀ відкидають; якщо значення спостерігаємого критерію K_сп2 належить області прийняття гіпотези, то гіпотезу приймають (рис. 4).

_________ e _____ K_сп2 _________0__ k_кр //////////////////////////// a//////////////////K_сп1////////////////

Рис. 4. Нульова гіпотеза H₀ в правосторонній критичній області:

P (K_сп1 > k_кр ) = a, P (K_сп2 < k_кр ) = e,деa= 0,9; 0,95; 0,99; 0,999.

Рівень значущості a визначає ймовірність помилкового прийняття альтернативної гіпотези H₁ при справедливості нульової гіпотези H₀.

При перевірці гіпотези можуть бути допущені помилки двох родів:

1) помилка першого роду полягає в тому, що буде відхилена правильна гіпотеза H₀. Імовірність помилки першого роду називають рівнем значущості a;

2) помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза. Імовірність помилки другого роду позначається як b – подія “прийнята нульова гіпотеза H₀, причому справедлива конкуруюча H₁ ”.

Отже, імовірність протилежної події ”відхилена нульова гіпотеза H₀, причомусправедлива конкуруюча H₁ ”, тобто ймовірність того, що не буде допущена помилка другого роду – це потужність критерію, яка рівна 1 – b. Очевидно, a ¹ 1 – b.

Відповідно теореми Неймана-Пірсона, якщо a вже вибрано, то можна побудувати критичну область, для якої b буде мінімальне і, відповідно, потужність критерію 1 – b максимально. Єдиний спосіб одночасного зменшення a і b полягає в збільшенні обсягу вибірки. Зазначимо, що якщо гіпотеза прийнята (або відкинута) то помилково думати, що тим самим вона доведена (або спростована).