Закони розподілу неперервної випадкової величини X

1. Рівномірний розподіл – розподіл імовірностей НВВ X, якщо на інтервалі (а, в), якому належать всі можливі значення X, диференціальна функція зберігає постійне значення, а саме

f (x) = = const,

а зовні цього інтервалу, тобто для x < а і для x > в, маємо f (x) = 0.

Інтегральна функція рівномірного розподілу має вигляд:

F(x) = 0, при x £ а; F(x) = (x – a) / (b – a) при а < x £ b; F(x) = 1 при x > b.

2. Показниковий (експоненціальний) розподіл – розподіл імовірностей НВВ X, яке описується диференціальною функцією

f (x) =

де l – постійна додатна величина.

Інтегральна функція показникового розподілу має вигляд:

F(x) =

Імовірність попадання в в інтервал (а, в) неперервної випадкової величини X, розподіленої за показниковим законом

P (а < X < в) = .

3. Нормальний розподіл – розподіл імовірностей НВВ X, якщо диференціальна функція має вигляд

f (x) = ,

де а – математичне сподівання; – середнє квадратичне відхилення випадкової величини X. Якщо нормальний розподіл має параметри а = 0 та =1, то маємо нормалізований нормальний розподіл:

f (x) = 1/ × exp (– x²/2).

Імовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу () визначається співвідношенням

P ,

де F (x) = – функція Лапласа.

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше додатнього числа >0 така

P .

Покладемо d/s = t, тоді будемо мати

P .

Це означає, що значення подвоєної функції Лапласа при заданому t визначає ймовірність того, що відхилення (X – a) нормально розподіленої випадкової величини X за абсолютною величиною буде менше st. Зокрема, при а = 0 слушна рівність

P .

Наведемо графік нормальної (гауссової) кривої, отриманої автором у праці [10].

Рис.1. Гістограма (1) і нормальна крива (2), що побудована за (завдання №16)

Числові характеристики випадкових величин (основні параметри теоретичного розподілу).

Нехайx_i,i – можливі значення ДВВ, p_i – відповідні їм імовірності, тоді характеристикою середнього значення випадкової величини X служить математичне сподівання (генеральна середня):

m º M (X) = .

Властивості M (X) для ДВВ і для НВВ:

M (С) = С, де С = const;

M (X₁ + X₂+…+ X_n) = M (X₁) + M (X₂) + …+ M (X_n);

M (X₁ × X₂ × …× X_n) = M (X₁) × M (X₂) …× M (X_n);

Математичне сподівання біноміального розподілу:

M (X) = n × p,

де n – число випробувань, p – імовірність появи події в одному випробуванні.

Для НВВ X Î (-¥, ¥) або X Î [а, в ], диференціальна функція якої f (x) маємо відповідно:

M (X) = f(x) dx; M (X) = f(x) dx.

Можна довести, що для X, заданої диференціальною функцією f (x) ³ 0 на відрізку [а, в], а зовні відрізку f (x) = 0, виконується а £ M (X) £ в.

Генеральна дисперсія (розсіяння, розкид) D_г випадкової величини X – математичне сподівання квадрату відхилення:

D_г º D (X) = M [X – M (X)]² º M (X²) – [M (X)]²; D (X) =

= (x – M (X))²f (x) dx º x²f (x) dx – [M (X)]²;

D (X) = (x – M (X))²f (x) dx,

де можливі значення X Î (–¥, ¥) або X Î (а, в).

Властивості дисперсії:

D (X) ³ 0; D (С) = 0; D (СX) = С²D (X); D (X ±Y) = D (X) + D (Y),

де X і Y – довільні незалежні випадкові величини. Розмірність (Dim) дисперсії дорівнює квадрату розмірності X. Дійсно, якщо X – випадкова сила F, то Dim X º Dim F = Н (Ньютон), то D (X) має розмірність Dim D (X) = Dim M [X – M (X)]² = Н². Ось чому уводиться поняття – середнє квадратичне відхилення

s (X) = , де s² = D_г.

Теоретичний початковий момент порядку k випадкової величини X – математичне сподівання величини X^k:

n_k = M (X^k).

Зокрема, початковий момент першого порядку

n₁ = M (X).

Центральний моментпорядку k випадкової величини X – математичне сподівання величини: [X – M (X)]^k:

m_k = M [ X – M (X)]^k.

Зокрема, m₁ = M [ X – M (X)] = 0,

m₂ = M [ X – M (X)]² = D (X); m₂ = n₂ – .

Для НВВ:

n_k = x^k f (x) dx; m_k = (x – M (X))^k f (x) dx.

Інші характеристики НВВ X:

Мода Мo(X) можливе значення x₀ Î X, якому відповідає max диференціальної функції f (x).

Медіана Мd(X) – те можливе значення x_e Î X, яке визначається рівністю:

P (X < М_e(X)) = P (X > М_e(X)).

Іншими словами, медіана тлумачиться як точка x_e, в якій ордината f (x_е) поділяє наполовину площу, яка обмежена кривою розподілу.