Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики

Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики

(фрагмент навчального посібника М.П.Костюченко)

Подія – все те, що може відбутися при здійсненні певного комплексу умов.

Події поділяються на три види:

1) вірогідна подія – подія, яка в разі виконання певної сукупності умов обов’язково відбудеться;

2) неможлива подія – подія, яка в разі виконання певної сукупності умов обов’язково не відбудеться;

3) випадкова подія – подія, яка в разі виконання певної сукупності умов може відбудеться або не відбутися.

Предметом теорії ймовірностей є вивчення кількісних закономірностей, які спостерігаються в масових однорідних випадкових подіях (рус. “cлучайных событий”). Випадковий, імовірнисний – стохастичний (від гр. stochasis – здогадка). Звідси маємо терміни “стохастичний процес”, “випадковий процес”.

Стохастичним експериментом називається експеримент, результат якого неможливо точно передбачити наперед. Вся сукупність можливих результатів експерименту – простір елементарних подій W. Елементарна подія w_i, i Î [1, k] – подія, що не може бути розкладена на більш прості. Очевидно

W = { w₁,w₂, w_3, …, w_к }.

Основні визначення алгебри випадкових подій:

1. Подія А є наслідком події

В (А É В),

якщо подія А обов’язково відбувається, коли відбувається подія В.

Множина А більша множини В.

1. Якщо подія А є наслідком події В, а подія В є наслідком події А, то ці події збігаються. Множина А дорівнює множині В.
2. Подія, зміст якої полягає в тому, що подія А не відбулася, називається подією, протилежною до А і позначається

або Ø А.

1. Іншими словами, дві несумісні події, які утворюють повну групу, називають протилежними.
2. Якщо подія А не містить жодної з елементарних подій простору W цього стохастичного експерименту, – вона називається неможливою, позначатимемо її Æ. Протилежною до неможливої є достовірна подія W, і навпаки:

= Æ, W = Ø Æ.

1. Події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших подій (не обов’язково одночасно). Наприклад, події: А₁ – перший студент знає навчальний матеріал, А₂ – другий студент знає навчальний матеріал. Події А₁, А₂ будуть сумісними випадковими подіями.
2. Подія С, яка відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається і подія А, і подія В, називається добутком подій А і В. У цьому випадку використовується позначення: С = А В або тотожне:

С = А Ç В.

1. Очевидно множина С складається зі спільних елементарних подій А і В. Наприклад, заняття (подія С) відбувається тоді, коли присутні студенти (подія А) і присутній викладач (подія В).
2. Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні. Наприклад, події: А – студент знає навчальний матеріал, В – студент не знає навчальний матеріал. Вказані події несумісні тому, що студент не може одночасно знати і не знати матеріал. Значить, події А і В називаються несумісними, якщо одночасне їх настання неможливе, тобто коли вони обидва не можуть бути істинні. Вказане формалізується так

А В = Æ.

1. Подія С називається сумою подій А і В, якщо зміст події С полягає в настанні або події А, або події В. Позначення:

С = А + В або С = А È В.

1. Наприклад, нагрів тіла (подія С) пов'язаний зі зовнішнім його опроміненням (подія А) або зі внутрішніми радіоактивними процесами, щ відбуваються у тілі (подія В).
2. Подія С, зміст якої полягає в тому, що подія А відбувалася, а подія В – ні, називається різницею подій А і В. Позначення:

С = А \ В.

Наприклад, отримання теоретичних знань (подія С) пов’язана з розумовою роботою на комп’ютері (подія А) і фізичною роботою натисканням на клавіатурі (подія В).

1. Випадкові події А₁, А₂, А₃, …, А_n утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоча б одна з них з’явиться обов’язково. Іншими словами, повною групою подій називається така сукупність подій, сума яких утворює весь простір елементарних подій даного експерименту. Очевидно, P (А₁, А₂, А₃, …, А_n) = 1.
2. Події називаються рівноможливими, якщо немає причин стверджувати, що будь-яка з них можливіша за інші.
3. Елементарними наслідками називають такі події, які неможливо розділити на більш прості. Множину всіх можливих елементарних наслідків називають простором елементарних наслідків. Простір елементарних наслідків може містити скінченну, злічену або незлічену множину елементів.
4. Незалежними подіями називаються такі події, коли ймовірність настання довільної з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні.

Класичне визначення ймовірності: імовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події А, до загального числа всіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків. Це записується так:

P (А) = m / n,

де m – число елементарних наслідків, які сприяють появі події А (число елементарних результатів випробування, що сприяє появі події А);

n – число всіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків (загальне число можливих елементарних результатів випробування).

Зазначимо, що ймовірність P (А) події А обчислюється до випробування. Після випробування обчислюється частотність події або відносна частота події W (А) – відношення числа випробувань, у яких подія А з’явилася, до загального числа фактично виконаних випробувань:

W (А) = m / n,

де m – кількість випробувань, у яких з’явилася подія А,

n – число всіх випробувань.

Очевидно, частотність має властивість стійкості: при великій кількості випробувань частотність змінюється дуже мало, коливаючись біля деякого постійного числа – імовірності появи цієї події, тобто

P (А) = lim W (А), при п ® µ.

Основні властивості ймовірності:

1. Якщо подія А достовірна, то її ймовірність дорівнює одиниці, тобто P (А) = 1, де m = n.

2. Якщо подія А неможлива, то її ймовірність дорівнює нулю, тобто P (А) = 0. де m = 0.

3. Якщо подія А випадкова, то її ймовірність задовольняє співвідношення 0 < P (А) < 1, де 0 < m < n.

Зазначимо, що випадкова подія лежить в інтервалі (0, 1), вірогідна (достовірна) подія відповідає рівності P (А) = 1, а неможлива подія – P (А) = 0. У загальному випадку події лежать в замкненому інтервалі – континуумі [0, 1].