Основні теореми теорії ймовірностей

1. Теореми додавання ймовірностей:

1.1) імовірність появи одного із двох несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P (А + В) º А È В = P (А) + P (В);

1.2) імовірність появи хоча б одного із двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи:

P (А + В) = P (А) + P (В) – P (А В), де P (А В) º А Ç В.

2. Теореми множення ймовірностей:

2.1) імовірність сумісної появи двох незалежних подій (ймовірність настання довільної з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні) дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

P (АВ) = P (А) × P (В);

2.2) імовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з подій на умовну ймовірність другої події:

P (АВ) = P (А) × P_А (В) або P (АВ) = P (В) × P_В (А).

Для двох незалежних подій А₁ і А₂,імовірності яких відповідно рівні p₁ і p₂, можна знайти ймовірність появи тільки одного з вказаних подій за формулою:

p (В₁ + В₂) = p₁ q₂+ p₂ q₁,

де p₁= P (А₁), p₂= P (А₂), q₁= P (Ø А₁), q₂= P (Ø А₂), В₁ = А₁ Ø А₂, В₂ = Ø А₁А₂. Можна довести, що для двох причинно-наслідкових подій (А ® В) виконується нерівність:P (В) ³ P (А).

Якщо події А₁, А₂, …, А_n незалежні в сукупності, причому P (А₁) = p₁, P (А₂) = p₂, …, P (А_n) = p_n. Тоді ймовірність настання події А,яке полягає в появі хоча б одного із подій А₁, А₂, …, А_n незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей протилежних подій q₁= P (Ø А₁), q₂= P (Ø А₂),…, q_n = P (Ø А_n):

P (А) = 1 – q₁q₂ ×××q_n.

Якщо всі n подій мають однакову ймовірність, рівну p, то ймовірність появи хоча б одного з цих подій:

P (А) = 1 – qⁿ, де q = 1 – p.

Нехай несумісні події (гіпотези) В₁, В₂, …, В_n утворюють повну групу подій, тобто P (В₁) + P (В₂) +…+ P (В_n) = 1. Тоді ймовірність події А,яка може наступити лише при появі одного із несумісних подій В₁, В₂, …, В_n дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з подій на відповідну умовну ймовірність події А:

P (А) = P (В₁) × P_В1 (А) + P (В₂) × P_В2 (А) + ×××+ P (В_n) × P_Вn (А) – формула повної ймовірності.

Як наслідок цієї формули розглядається подія А, яка може наступити за умови появи одного із несумісних подій (гіпотез) В₁, В₂, …, В_n, які утворюють повну групу подій. Якщо подія А вже відбулася, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулою Бейеса:

P_А (В_i) = (P (В_i) × P_Вi (А)) / P (А).

3. Повторення випробувань. Розглянемо послідовність незалежних однотипних випробувань, при яких імовірність появи події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань – незалежні випробування відносно події А. Розглянемо незалежні випробування, в результаті кожного з яких наступає або успіх, або невдача, імовірності яких постійні та відомі p – імовірність успіху, q = 1 – p – імовірність невдачі. Тоді ймовірність того, що в n незалежних випробувань, в кожному з яких імовірність появи події рівна p (0< p < 1), визначається за формулою Бернуллі:

P_n(k) = × p^k × q^n-k,

де комбінація = n! / (k!×(n – k)!).

Локальна теорема Лапласа: імовірність того, що в n незалежних випробувань, в кожному з яких імовірність появи події рівна p, подія наступає рівно k раз (байдуже в якій послідовності), приблизно визначається за формулоюМуавра-Лапласа:

P_n(k) = j (x) / ,

де парна функція j (x) = , x = (k – np) / має табличні значення, а кількість випробувань велика (n ³ 100).

Інтегральна теорема Лапласа: імовірність того, що в n незалежних випробувань, в кожному з яких імовірність появи події рівна p, подія наступає не менше k₁ разів і не більше k₂ разів, приблизно рівна P_n(k₁; k₂)= F (x₁) – F (x₂),

де функція Лапласа F (x) = , x₁ = (k₁ – np) / , x₂= (k₂ – np) / . Таблиця функції Лапласа F (x) наведена для 0 £ x £ 5. Для x > 5 покладають F (x) = 0,5, а для від’ємних значень враховують нечіткість функції Лапласа, тобто F (–x) = – F (x).

Оцінювання абсолютної величини відхилення відносної частоти появи події від імовірності появи цієї події можна за формулою:

P 2F .

Найімовірніше значення k₀ настання події визначається за формулою:

np – q £ k₀ £ np + p.

Розглянемо залежні випробування, в яких на довільному кроці s імовірність настання певної події залежить лише від результату попереднього s – 1 кроку, але не залежить від тих, що були раніше, та від номера кроку s. Така послідовність називається однорідним ланцюгом Маркова, який може бути скінченним чи нескінченним. Зручно вважати подію як певний стан системи w_i, i Î [1, N], де число станів системи N може бути скінченним чи нескінченним. Тоді ймовірність переходу p_ij системи зі стану w_i в стан w_j, за умови, що перебування в стані w_i безпосередньо передує перебуванню в стані w_j, є умовною ймовірністю:

p_ij = P (w_{j ï} w_i).

Набір коефіцієнтів p_ij (i=1,2,…,N) утворює матрицю переходу p = || p_ij|| за один крок. Елементи матриці невід’ємні, а сума елементів кожного рядка дорівнює одиниці (див. детально [6]).

Випадкова величина – величина X, яка в результаті випробування набуває одне (певне) значення з можливих, яке наперед невідоме, бо залежить від випадкових причин, що не можуть бути враховані. Випадкові величини поділяються на дискретні та неперервні.

Дискретна випадкова величина (ДВВ) – випадкова величина X, як а набуває лише певні (конкретні) можливі значення, які входять в скінченну або в зчисленну множину, з певними ймовірностями.

Неперервна випадкова величина (НВВ) – випадкова величина X, яка набуває довільні значення з певного скінченного або нескінченного проміжку. Кількість можливих значень НВВ – нескінченна.

Закон розподілу ДВВ X – перелік її можливих значень x₁, x₂, …, x_n та відповідних їм імовірностей p₁, p₂, …, p_n, де події, що розглядаються утворюють повну групу. Вказаний закон задається у вигляді таблиці, або графіка, або аналітично (формулою) P (X=x_i) = j (x_i), або за допомогою інтегральної функції.

Інтегральна функція розподілу (теоретична функція розподілу) неперервної випадкової величини X – функція F(x), яка визначає для довільного x ймовірність того, що випадкова величина X набуде значень, менших за x (що лежать лівіше від точки x на числовій осі), тобто F(x) = P (X < x).

Властивості інтегральної функції: 0 £ F(x) £ 1; функція F(x) неспадна, тобто F(x₂) ³ F(x₁), якщо x₂ > x₁; P (а < X < в) = F(в) – F(а); P (X = x₁) = 0; якщо всі можливі значення випадкової величини X належать інтервалу (а, в), то F(x) = 0 при x £ а і F(x) = 1 при x ³ в; для xÎ(-¥, ¥) справедливі граничні співвідношення lim F(x) = 0, при x ® -¥, lim F(x) = 1, при x ® ¥.

НВВ можна задавати не тільки інтегральною функцією, а й диференціальною функцією розподілу (густиною ймовірностей) – першою похідною від інтегральної функції

f (x) = º d F(x) / dx.

Імовірність того, що НВВ X набуде значення, які належать інтервалу (а, в) визначається рівністю

P (а < X < в) = .

Знаючи диференціальну функцію f (x), можна знайти інтегральну функцію за формулою

F(x) = .

Властивості диференціальної функції: f (x) ³ 0; = 1; якщо всі можливі значення X належать інтервалу (а, в), то = 1.