Задание №3. Построения областей устойчивости системы (см

Построения областей устойчивости системы (см. рисунок 2.1.1) методом D-разбиений будем проводить по параметрам Киу*Ку и Тиу. Для исследования системы нужно получить передаточную функцию.

W(S) ,

Ф(S) .

Получим характеристический полином.

В(S) . (3.3.1)

Пусть А₂=Тиу, А₁=Киу*Коу и приведём к виду (2.3.1).

Q(S)= , (3.3.2)

Для получения системы (2.3.2) сделаем подстановку S=j и выделим действительную и мнимую часть.

Q(j )= =

= ; (3.3.4)

Получим систему:

Для решения системы методом составим определители Δ(, ΔА₁(, ΔА₂(.

Δ(;

ΔА₁(

;

ΔА₂(

Так как А₁(, А₂(, то получим:

А₁( =0.54* ²+7.4074074;

А₂(.

В данном случае особая точка ₀=0 так как именно в ней Δ( =0.Подставив ее в одно из уравнений системы(3.3) получим особую прямую А₁=0. Так как сводный член уравнения (3.2) зависит от А_2,то прировняв его к нулю получим концевую прямую А₂=0.Построим на одном графике А₁(, А₂(, А₁=0, А₂=0.

Таблица 3.3.1 - Построение А₁(, А₂(

ώ	A2(ώ)	A1(ώ)
0,15	164,6091	7,419557
0,3	41,15226	7,456007
0,45	18,28989	7,516757
0,6	10,28807	7,601807
0,75	6,584362	7,711157
0,9	4,572474	7,844807
1,05	3,359368	8,002757
1,2	2,572016	8,185007
1,35	2,032211	8,391557
1,5	1,646091	8,622407
1,65	1,360405	8,877557
1,8	1,143118	9,157007
1,95	0,974018	9,460757
2,1	0,839842	9,788807
2,25	0,731596	10,14116
2,4	0,643004	10,51781
2,55	0,569581	10,91876
2,7	0,508053	11,34401
2,85	0,455981	11,79356
	0,411523	12,26741
3,15	0,373263	12,76556
3,3	0,340101	13,28801
3,45	0,31117	13,83476
3,6	0,28578	14,40581
3,75	0,263374	15,00116
3,9	0,243505	15,62081
4,05	0,225801	16,26476
4,2	0,209961	16,93301
4,35	0,19573	17,62556
4,5	0,182899	18,34241
4,65	0,171289	19,08356
4,8	0,160751	19,84901
4,95	0,151156	20,63876
5,1	0,142395	21,45281
5,25	0,134375	22,29116
5,4	0,127013	23,15381
5,55	0,12024	24,04076
5,7	0,113995	24,95201
5,85	0,108224	25,88756

На основе таблицы 3.3.1 построим график:

Рисунок 3.3.1 - Плоскость D-разбиений

Из таблицы видно что Δ( 0, соответственно кривая D - разбиения штрихуется двойной штриховкой справа, особая и концевая прямая штрихуются один раз и в данном случае их штриховки направлены к штриховке D-разбиения. Так как А₂=0.13, нарисуем соответствующую прямую.

А₂(,

,

А₁( = 22.792.

Данное значения будет являться критической колебательной границей устойчивости (Ку*Киу)кр=22.792, а (Ку*Киу)кр=0 критической апериодической границей устойчивости.

Точка с (Ку*Киу)тр=7142.8571 находится вне области устойчивости, следовательно система с коэффициентом усиления (Ку*Киу)тр – неустойчивая.

Задание №4:

Используя критическое значение из задания 3 и передаточные функции из задания 1 получим:

W(S)

Ф(S)= .

Подставив в передаточную функцию замкнутой системы вместо s=jώ, и выделив мнимую и действительную часть получим:

Re[Ф(jώ)]= ,

Im[Ф(jώ)]= ,

Φ(ώ)= ,

A(ώ)= .

Таблица 3.4.1 - Значения , lg , P, Q, A, 20lg A, φ.

В соответствие с таблицей построим АЧХ и ФЧХ.

Рисунок 3.4.1 - АЧХ замкнутой системы

Рисунок 3.4.2 - ФЧХ замкнутой системы

Также поступим и с передаточной функцией разомкнутой системы:

Re[Ф(jώ)]= ;

Im[Ф(jώ)]= ;

Φ(ώ)= ,

A(ώ)= .

L(ώ)=20*lgA(ώ).

Таблица 3.4.2 - Значения P,Q,A,φ, lgώ, lgA

В соответствие с таблицей построим ЛАЧХ и ЛФХ.

Рисунок 3.4.3 - ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы

Из рисунка видно, что ϒ=27.4 градусов =0.4779 радиан, а Н=8,33 градус =0.1454 радиан. Из формулы (1.4.1) получим h=1.016.