Логарифмічно нормальний розподіл

Розподіл випадкової величини набуває характеру логарифмічно нормального, коли за нормальним законом змінюється логарифм цієї величини. Цим законом описується напрацювання до відмови більшості деталей, особливо якщо відмови настають через втомлюваність і старіння (наприклад, підшипників кочення).

Рис.4. Основна характеристика логарифмічно нормального розподілу:

а – щільність імовірності f (t); б – імовірність безвідмовної роботи P (t); в – інтенсивність відмов l(t)

Щільність розподілу (рис. 4.) описується такою залежністю:

(20)

де μ, S - параметри, які оцінюють за результатами спостережень чи випробувань.

Так, якщо випробовують N виробів до відмови, то ; , (21)

де μ *, s – статистична оцінка параметрів μ та s.

Імовірність безвідмовної роботи P(t) визначають з (див. [1, стор. 76]) залежно від значень квантилів

. (22)

Математичне сподівання напрацювання до відмови

. (23)

Середнє квадратичне відхилення

(24)

Коефіцієнт варіації

(25)

Для V_t ≤ 0,3 приймають V_t ≈ S і при цьому похибка ≤1 %.

Якщо використати залежності для логарифмічно нормального розподілу в десяткових логарифмах, то одержимо

(26)

Причому для визначення щільності розподілу f(t) lg t ₀i S визначають за результатами спостережень чи випробувань:

. (27)

Математичне сподівання

(28)

Середнє квадратичне відхилення

. (29)

Коефіцієнт варіації

. (30)

При V_t ≤ 0,3 V_t= 2,3 S.

Логарифмічно нормальний розподіл для ймовірності безвідмовної роботи P(t) ≤ 0,99і при V_t ≤ 0,3може замінюватися нормальним розподілом з параметрами m_t i S_t та щільністю розподілу

(31)

Імовірність безвідмовної роботи визначають за допомогою спеціальних таблиць для цього розподілу або таблиць для нормального розподілу (див. [1, стор. 76])) з урахуванням того, що квантиль розраховують за формулою

(32)