Статистичні методи вивчення і прогнозування показників надійності і довговічності. Закони розподілу випадкових величин в теорії надійності

Визначення показників надійності технологічного обладнання і машин за допомогою матема­тичних методів на основі узагальнення нагромадженої масової ста­тистичної інформації зі сфери їх експлуатації дає змогу встановлю­вати ймовірнісні закономірності та співвідношення між випадковими чинниками, які впливають на рівень надійності об’єктів. При цьому застосовують апарат теорії ймовірностей і математичної статисти­ки. Практичним підґрунтям для використання цих розділів математичних наук є досвід, спостереження, активний експеримент.

Уживають ще й такі специфічні поняття, як випробування (дослід), подія, випадкова величина, імовірність, частота, частість.

Випробування (дослід) – це практичне здійснення деяких умов чи правил. Під час виконання дослідів виникають явища (події). Во­ни бувають поодинокими, коли явище виникло один раз при багато­разовому повторенні досліду і більше не виникає. Переважно ж події бувають масовими, тобто такими, які повторюються за багаторазо­вого проведення дослідів. У практиці експлуатації технологічного обладнання галузі маємо спра­ву з масовими подіями.

Подія – це явище, яке виникає у результаті досліду. Отже, експлуатація об’єктів харчової промисловості з позицій теорії ймовірностей – це випробування (дослід), а виникнення їх відмов за певний період часу чи наробітку – це події.

Події бувають вірогідні, неможливі, випадкові, сумісні, несу­місні, рівноможливі та незалежні.

Вірогідні події –такі, які в дослідах виникають завжди (наприклад, зміна розмірів деталей унаслідок їх спрацювання).

Неможливі події – такі, які в дослідах ніколи не виникають (наприклад, наявність незношеного колінчастого вала холодильного компресора, який на­дійшов у ремонт чи вичерпав свій ресурс).

Випадкові події – такі, які в результаті досліду можуть виникати або не виникати (відмова якогось конструктивного елемента об’єкта на заданому проміжку часу або наробітку).

Сумісні події – дві випадкові події, одна з яких не виключає можливості появи іншої (наприклад, відмова контрольних приладів дифузійного апарата цукрового заводу, як подія А, не виключає відмови його приводу, як події В).

Несумісні події – такі дві події, коли при випробуваннях поява однієї унеможливлює появу іншої (відмова приводу і роботоздатний стан дифузійного апарата – це події, які не можуть виникати одночасно).

Рівноможливі події – декілька можливих подій, які з’являються у процесі випробування (відмови дозувального механізму пакувальної машини, вимірювальних приладів, конвеєра тощо). До них належать також сумісні події.

Незалежні події – такі, поява яких не залежить від того, яка подія виникла перед цим (наприклад, попередня відмова системи контролю не впливає на наступну відмову системи забезпечення вакууму в ректифікаційному апараті спиртового заводу).

Очевидно, що факти виникнення подій (відмов) є якісною характеристикою результатів випробувань. Кількісну характеристику становлять випадкові величини та їхні значення.

Випадковою величиною називають таку, яка у результаті до­сліду може набувати певного значення, причому наперед (пе­ред дослідом) невідомого. Наприклад, наробіток об’єкта до чи на відмову, середній ресурс, спрацювання його деталі тощо. Випадкові вели­чини позначають великими латинськими літерами (X, У та ін.), а їхні можливі кількісні значення відповідними малими (х, у тощо). Випадкові величини можуть бути дискретними та безперервними.

Дискретна випадкова величина – така, кількість можливих значень якої можна перелічити і яка має певний обсяг вибірки (наприклад, кількість дефектних деталей, значень спрацювання, відмов тощо).

Безперервнавипадкова величина – така, яка за певного інтер­валу часу може набувати будь-якого значення (тривалість безвідмо­вної роботи об’єкта, його ТО чи ремонту тощо). З метою кількісної оцінки виникнення випадкових подій під час реалізації різних до­слідів користуються виразом, числове значення якого буде тим бі­льшим, чим вища можливість появи подій. Цей вираз у теоретичному розумінні називають імовірністю події і визначають із співвідношення

,

(1)

де Р(А) – імовірність появи події А; т – кількість випадків у досліді, які сприяють появі події А; n – загальна кількість дослідів.

Експериментальне значення імовірності появи події називають експериментальною (емпіричною) частістю, або відносною часто­тою, W_i і визначають за формулою

,

(2)

де т_і – частота появи випадкової події (відмови); n_i – загальна кіль­кість проведених дослідів для визначення емпіричної частості.

Ймовірності випадкових величин або подій можна додавати і
множити. Для цього користуються відповідними формулами додавання і множення ймовірностей.

Формула додавання ймовірностей випадкових величин A_i:

.

(3)

Отже, ймовірність появи однієї з кількох незалежних і несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Для випадку повної групи таких подій А _і матимемо

.

(4)

На практиці у дослідженнях надійності обладнання, машин та їхніх систем розглядають, як правило, дві несумісні протилежні події – роботоздатний стан з імо­вірністю Р і стан їхніх відмов з імовірністю . Тоді (5)

Формула множення ймовірностей:

. (6)

Якщо дві події А і В є незалежними, то ймовірність сумісної появи їх дорівнює добуткові ймовірностей цих подій.

Якщо , то .

Якщо маємо більше, ніж дві незалежних події, то

(7)

При цьому, якщо , то

(8)

За формулою множення ймовірностей можна легко встановити, що система послідовно з’єднаних об’єктів не може бути надійнішою від найменш надійних своїх конструктивних складових.

Приклад 1. Нехай об’єкт складається з двох послідовно з’єднаних агрегатів, імовірність безвідмовної роботи яких становить Р₁ = 0,8; Р₂ = 0,9. Отже, ймовірність безвідмовної роботи об’єкта становитиме: Р=Р₁Р₂=0,8·0,9 = 0,72.

Для залежних випадкових подій формула множення ймовірнос­тей набуває такого вигляду:

(9)

де Р(АВ) – імовірність одночасної появи подій А і В; Р_В(А) – імовірність появи події А за умови, що вже виникла подія В (цю ймовірність ще називають умовною).