Розподіл Вейбулла

Цей розподіл характеризується такими функціями (рис. 5):

- ймовірністю безвідмовної роботи

; (33)

- інтенсивністю відмов

; (34)

- густиною розподілу

. (35)

Розподіл Вейбулла також має два параметри: параметр форми m > 0 і масштабний параметр t ₀ > 0.

Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення визначають відповідно так:

; (36)

де і - коефіцієнти (див. [1, стор. 76]).

Якщо протягом певного часу відмови не відбуваються, то імовірність безвідмовної роботи визначають за формулою

.

Іноді характеристики розподілу Вейбулла записують з використанням інших позначень. Наприклад, імовірність безвідмовної роботи можна подати так:

де і

Можливості та універсальність закону Вейбулла очевидні з рис. 5

Рис. 5.. Характеристики розподілу Вейбулла:

а – щільність розподілу; б – функція надійності; в – інтенсивність відмов; г – графічне визначення параметрів розподілу

При m < 1 функції і спадаючі.

При m = 1 розподіл перетворюється на експоненційний з і ─ спадна функція.

Якщо m > 1 функція має вершину, як у логарифмічно нормальному розподілі, то функція є безперервно зростаючою і при 1 < m < 2 випуклою, а при m > 2 – увігнутою.

За умови m = 2 функція лінійна у розподілі Вейбулла перетворюється на відомий розподіл Релея.

Якщо m = 3,3, то розподіл Вейбулла близький до нормального.

Графічне оброблення результатів випробувань з використанням розподілу Вейбулла проводитять у такому порядку:

- логарифмують функцію надійності ;

- вводять позначення ;

- логарифмують ;

де .

Відклавши результати випробувань на графіку з координатами (див. рис. 5) і, з’єднавши отримані точки прямою, матимемо ; , де - кут нахилу прямої до осі абсцис; ─ відрізок, який відсікає пряма на осі ординат.

Як бачимо, розподіл Вейбулла досить універсальний. Він задовільно описує напрацювання до відмови підшипників та інших деталей машин, які руйнуються від утоми. Його застосовують також для оцінювання надійності вузлів підіймально-транспортних машин і механізмів.

Приклад 2. Оцінити ймовірність безвідмовної роботи P (t) роликопідшипника протягом t=10⁴ год, якщо його ресурс описується розподілом Вейбулла з параметрами t ₀=10⁷ год, m =1,5.

Розв’язок. .